数学基础_拉氏变换.pptVIP

* 自动控制原理 数学基础－－ 拉普拉斯变换 刘宝 liubao@hdpu.edu.cn * 1. 拉普拉斯变换的定义 1.1 复变量和复变函数 一个复数包括实部和虚部，如果实部和虚部都是变量，则称其为复变量。在拉氏变换中，复变量用符号s表示，表示 一个复变函数F(s)是s的函数，它具有实部和虚部 * 幅值： 如果在某一域内，复变函数F(s)及其所有阶导数都存在，则称该复变函数F(s)在该域内是解析的。 相角： 角度从实轴开始，沿逆时针计算 jω Re 0 F(s) Fx Fy * 在s平面上，使函数F(s)解析的点称为正常点，使F(s)为非解析的点称为奇点 使F(s)及其导数趋于无穷大的奇点称为极点 使F(s)=0的点叫做零点 且p1为2阶极点 极点为 例如 零点为 * 1.2拉普拉斯变换的定义 若f(t)是时间t的函数，且t0时，f(t)=0; s是复变量, 则f(t)的拉氏变换F(s)定义为 由拉氏变换F(s)求时间函数f(t)的反变换过程称为拉普拉斯反变换，定义为 其中常数c选择的比F(s)的所有奇点的实部都大。 * 1.3 常用函数的拉氏变换 (1) 求阶跃函数f(t)=A·1(t)的拉氏变换。 单位阶跃函数f(t)=1(t)的拉氏变换为 。 (2) 求单位脉冲函数f(t)=δ(t)的拉氏变换。 * （3）求指数函数f(t)= 的拉氏变换 f(t) F(s) f(t) F(s) δ(t) 1 1(t) 1/s t 1/(s+a) 几个重要函数的拉氏变换 * 3. 拉氏变换性质 设 的拉氏变换为 3.1 线性性质 原函数之和的拉氏变换等于各原函数的拉氏变换之和 3.2 积分定理 不定积分 定积分 * 3.3 微分定理 * 3.4 初值定理 3.5 终值定理 若 存在 原函数的终值等于其象函数乘以s的初值。 原函数的初值等于其象函数乘以s的自变量s趋向无穷大时的极限值。 * 3.6 延迟定理 3.7 与 相乘 * 4. 拉普拉斯反变换 4.1 求拉普拉斯变换的展开式 拉氏变换常以如下形式出现 如果F(s)被分解成下列分量 并且F1(s),F2(s),…,Fn(s)的拉普拉斯反变换可以容易得到，则 * 4.2 只包含不同极点的部分分式展开 考虑下列因式形式的F(s) 如果F(s)只包含不同的极点，则F(s)可展开成为下列简单的部分分式之和： 系数ak叫做极点s=-pk上的留数，留数ak可由下式决定 * 例1：求函数F(s)的拉氏逆变换 解：该式可以分解为如下形式 其中 * 所以 其对应的拉氏逆变换为 * 例2 * 4.3 包含多重极点的F(s)部分展开 通过例子说明 F(s)的部分展开式包括三项 式中b1,b2,b3可确定如下 * 所以 其拉氏逆变换为 * 练习：函数f(t)的图形如下，求其拉氏变换F(s) 1 2 1