数学建模第二章课件.docVIP

第二章 微分方程 本章学习目的： 本章的主要目的在于：学习微分方程模型的建立、求解方法、分析结果及解决实际问题的全过程。 1．知道求解微分方程的解析法、数值解法以及图形表示解的方法； 2．理解求微分方程数值解的欧拉方法，了解龙格——库塔方法的思想； 3．熟练掌握使用MATLAB软件的函数求微分方程的解析解、数值解和图形解； 4．通过范例学习怎样建立微分方程模型和分析问题的思想。 §2.1 引例 在《大学物理》中，我们曾学习过简谐振动（如：弹簧振子、单摆），那就是一个典型的二阶常微分方程的模型。 这里我们讨论“倒葫芦形状容器壁上的刻度问题”。 对于圆柱形状容器壁上的容积刻度，可以利用圆柱体体积公式：，其中容器的直径D为常数，体积V与相对于容器底部的任意高度H成正比，因此在容器壁上可以方便地标出容积刻度。 而对于几何形状不规则的容器，比如“倒葫芦形状”的容器壁上如何标出容积刻度呢？ 如图所示，建立坐标系，由微元法分析可知： ，其中x表示高度，直径是高度的函数，记为D（x） 如果该方程中的函数D(x)无解析表达式，只给出D(x)的部分测试数据，如何求解此微分方程呢？ h=0.2; d=[0.04,0.11,0.26,0.56,1.04,1.17]; x(1)=0;v(1)=0; for k=1:5 x(k+1)=x(k)+h; v(k+1)=v(k)+(h/2)*(pi/4)*(d(k)^2+d(k+1)^2); end x=x(1:6),v=v(1:6), plot(x,v) x = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 v = 0 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 0.3393 x = Columns 1 through 5 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 Column 6 1.0000 v = Columns 1 through 5 0 0.0011 0.0073 0.0373 0.1469 Column 6 0.3393 §2.2 微分方程模型的建立 在工程实际问题中，“改变”、“变化”、“增加”、“减少”等关键词提示我们注意什么量在变化，关键词“速率”、“增长”、“衰变”、“边际的”等常涉及到导数。就是一个简单的一阶微分方程。 微分方程是指含有导数或微分的等式。 一般形式： 常用的建立微分方程的方法有：运用已知物理定律；利用平衡与增长式；运用微元法；应用分析法。 2..1 运用已知物理定律 建立微分方程模型时应用已知物理定律，可事半功倍。 例2.1 一个较热的物体置于室温为180的房间内，该物体最初的温度是600，3分钟以后降到500想知道它的温度降到300 需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？ 牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变化速率正比于T与周围介质的温度差。 分析：假设房间足够大，放入温度较低或较高的物体时，室内温度基本不受影响，即室温分布均衡，保持为m，采用牛顿冷却定律是一个相当好的近似。 建立模型：设物体在冷却过程中的温度为T(t)，t≥0， 根据牛顿加热（冷却）定律：，建立微分方程 （） 其中参数k 0，m=18。 .2.2 利用平衡与增长式 许多研究对象在数量上常常表现出某种不变的特性，如封闭区域内的能量、货币量等。利用变量间的平衡与增长特性，可分析和建立有关变量间的相互关系。 此类建模方法的关键是分析并正确描述基本模型的右端，使平衡式成立。 例.2 战斗模型：两方军队交战，希望为这场战斗建立一个数学模型，应用这个模型达到如下目的： 1. 预测哪一方将获胜？ 2. 估计获胜的一方最后剩下多少士兵？ 3. 计算失败的一方开始时必须投入多少士兵才能赢得这场战斗？ 模型建立： 设 x(t)： t 时刻X方存活的士兵数 y(t)： t 时刻Y方存活的士兵数 假设： 1）双方所有士兵不是战死就是活着参加战斗，x(t)与y(t)都是连续变量； 2）Y方军队的一个士兵在单位时间内杀死X 方军队 a 名士兵； 3）X 方军队的一个士兵在单位时间内杀死Y方军队 b 名士兵； {Δt 时间内X军队减少的士兵数 }= {Δt 时间内Y军队消灭对方的士兵数} 即有 Δx =－ayΔt 同理 Δy =－bxΔt 令，得到微分方程组： （） .2.3 微元法 基本思想：通过分析研究