无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法剖析.ppt

* LP-BS变换的又一种实现方法: 由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通(低阻),再利用3.4.3的方式由低阻到带阻,即 　　其中 的求取可利用低通到高通公式, 可利用低通到带通公式求,最后可求得 ,如书中表格内表达式。 * * 4.6* IIR数字滤波器的最优化设计方法（CAD设计法) 前面描述的IIR数字滤波器的设计方法是基于原型模拟滤波器设计和频率变换而实现的，这些方法被应用于一些具有频率选择性幅度衰落的低通、高通、带通和带阻滤波器的设计中。在设计具有其他频率响应特性的IIR滤波器时，为了使计算机设计的滤波器与期望的频率响应之间的误差最小化，必须依靠一些迭代最优化技术。 CAD设计的基本思想： 设 表示要设计的数字滤波器的系统函数 的频率响应，则在某种程度上，他应该逼近要求的频率响应 ，该函数是一个ω的分段线性函数。我们的目标是迭代地确定出传输函数的参数，使得对于闭子区间 上的所有的ω， 和 之间的差最小。 * 4.6.1 帕德(Pade)逼近法 是一个理想滤波器的单位脉冲响应，用一个因果滤波器逼近该理想滤波器，其单位脉冲响应为 ，则系统函数为： 为了方便起见，令ai=a(i),i=0,1,2, …,M 和 bj=b(j), j=1,2, …,N。求得H(z)的N+M+1个待定系数，使得 ,n=0,1, …,N+M。首先将 写成以下形式： * 在时域，上式左边相当于一个卷积： a(n)的长度为M+1，令h(n)=hd(n),n=0,1, …,N+M,就可以得到N+M+1个线性方程，求解N+M+1个未知数： 首先根据上式的最后N个方程求得系数b(j),可以写成如下矩阵形式： * 然后根据方程组的前M+1个方程求系数a(i) 虽然帕德逼近法可以使h(n)在n=0,1, …,M+N范围内很好地逼近hd(n)，但在nM+N时，对h(n) 没有约束，h(n) 不能很好地逼近hd(n)。 4.6.2 普罗尼(Prony)算法 用最小二乘法设计滤波器，问题就在于求使： 最小的系数a(i)和b(j)，其中，U是预先选择的上限。由于ε是系数a(i)和b(j)的非线性函数，一般说来求解这个最小化问题非常困难。 * 但是，可以用如下的两步过程求一个近似的最小二乘解，由于: 第一步：求系数b(j),使ε最小，其中： 使ε最小的系数 b(j)，可以通过令ε对b(j)的偏导数等于0求得，即： 则可求得系数b(j)。也就是求解以下线性方程组： * 其中： 是hd(n)的相关函数 第二步：用帕德法中n=0,1, …,M时，h(n)=hd(n)来求系数a(i): * (4)归一化的系统函数： (5)代入变换公式 将 代入得: * w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400)); w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400)); wr=2*400*tan(2*pi*120/(2*400)); [N,wn]=buttord([w1 w2],[0 wr],3,10,s); [B,A]=butter(N,wn,s); [num,den]=bilinear(B,A,400); [h,w]=freqz(num,den); f=w/pi*200; plot(f,20*log10(abs(h))); axis([40,160,-30,10]); grid; xlabel(频率/kHz) ylabel(幅度/dB) * 图4.25 巴特沃兹带通滤波器 频率/kHz 幅度/ dB * 4.4.4 带阻变换(LP-BS) 0 ω2 ω1 π ω ω0 0 ω π ω0 0 Ωc -Ωc Ω Ω 图4.26 带阻原型变换 * 把带通的频率关系倒置就得到带阻变换。 例4.12 一数字滤波器采样频率fs=1kHz，要求滤除100Hz的干扰，其３dB的边界频率