D2_4隐函数求导20151023资料.ppt

第四节 一、隐函数的导数 例1. 求由方程 例4. 求 又如, 二、由参数方程确定的函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 若上述参数方程中 例7. 设 三、相关变化率 例8. 一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升, 思考题: 当气球升至500 m 时停住 , 有一观测者以 小结 内容小结 思考与练习 2. 设 3. 设 备用题 2. 设 例8. 有一底半径为 R cm , 高为 h cm 的圆锥容器 , 例9. 设由方程 例2. 求椭圆 说明: 2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例8. 抛射体运动轨迹的参数方程为 抛射体轨迹的参数方程 3、参数方程求导: 实质：利用复合函数求导法则， 注：每一步求导都以t为中间变量，x为自变量，即无论求几阶导数，都利用了同样的复合关系： 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 P108 3(1)(4);4(奇); 8(奇) 预习： §5 函数的微分 作业 1. 隐函数求导法则 直接对方程两边求导 2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数 3. 参数方程求导法 极坐标方程求导 4. 相关变化率问题 列出依赖于 t 的相关变量关系式 对 t 求导 相关变化率之间的关系式 转化 求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式 1. 求螺线 在对应于 的点处的切线方程. 解: 化为参数方程 当 时对应点 斜率 ∴ 切线方程为 点击图中任意处 动画播放\暂停 求 提示: 分别用对数微分法求 答案: 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 当 时, 故由 ① 得 再代入 ② 得 求 ① 求其反函数的导数 . 解: 方法1 方法2 等式两边同时对 求导 1. 设 , 求 解：方程组两边同时对 t 求导, 得 试求当容器内水 今以 自顶部向容器内注水 , 位等于锥高的一半时水面上升的速度. 解: 设时刻 t 容器内水面高度为 x , 水的 两边对 t 求导 而 故 体积为 V , 则 确定函数 求 解: 方程组两边对 t 求导 , 得 故 隐函数: y = y ( t ) 练习1：P111 1(2) 解: 方程两边对x求导,要记住y是x的函数,则y的函数是x的复合函数. 在点 处的切线方程. 解: 椭圆方程两边对 x 求导 故切线方程为 即 1) 对幂指函数 可用对数 按指数函数求导公式 按幂函数求导公式 注意: 求导法求导 : 例如, 两边取对数 两边对 x 求导 * 目录 上页 下页 返回 结束 一、隐函数的导数 二、由参数方程确定的函数的导数 三、相关变化率 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第二章 若由方程 可确定 y 是 x 的函数 , 由 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, 可确定显函数 可确定 y 是 x 的函数 , 但此隐函数不能显化 . 函数为隐函数 . 则称此 隐函数求导方法: 两边对 x 求导( 注意 y = y(x) ) (含导数 的方程) 在 x = 0 处的导数 解: 方程两边对 x 求导 得 因 x = 0 时 y = 0 , 故 确定的隐函数 例2. 解: 方程两边对 x 求导 得 例3. 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 再求导, 得 ② 故由 ① 得 把①代入 ③ 得 求 ① 由② 得 ③ 例3. 设 由方程 确定 , 解: 方程两边对 x 求导, 得 得 ① 把①代入 ② 得 求 ② 例4. 求由方程 所确定的隐函数的二阶 导数 解:在方程两边对 x 求导,得 上式两边再对 x 求导,得 y = y (x) 虽然隐函数没解出来,但它的导数求出来了,当然结果中仍含有变量y. 允许在 的表达式中含有变量y. 一般来说,隐函数 求导, 求隐函数的导数时,只要记住x是自变量, 将方程两边同时对x求导,就得到一个含有导数 从中解出即可. 于是y的函数便是x的复合函数, 的方程. y是x的函数, 隐函数求导法则 用复合函数求导法则, 并注意到其中 将方程两边对x求导. 变量y是x的函数. 的导数 . 两边取对数 , 化为隐式 两边对 x 求导 方法II. 指数求导法. 函数化为 则 解:方法I. 对数求导法. 例5. 对 x 求导 两边取对数得 解: 先考虑当 x 4 时的情形. 当x 1和2 x 3时,用同样的方法可得相同的结果. ∴ 对 x 求导 两边取对数 练习2：P109 4(1)(3) 两边取对数 , 两边对 x 求导 解: 练习