ch2-5样条插值剖析.ppt

内容小结 第五节 样条插值法 插值法 Hermite插值法的基本思路 Hermite插值多项式的构造 Hermite插值多项式的误差估计 一般的插值问题 插值函数在子区间的端点(衔接处)不光滑, 从而导数不连续。 而一些实际问题,不但要求一阶导数连续, 而且要求二阶导数连续。所以一般插值往往不 能满足实际需要 一般插值函数的不足 (1) S(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上是次数不超过m的多项式; (2) S(x)在区间[a , b]上有m-1阶连续导数; 则称S(x)是定义在[a ,b]上的m次样条函数。x0，x1，x2, ???称为样条结点,其中x1,???,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为边界结点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数 设S(x)是区间[a,b]上的函数,在区间[a,b]上给定一 组基点: a=x0x1x2???xn=b 若S(x)满足条件 一、样条函数的概念 取插值函数为样条函数的插值称为 样条插值 所谓“样条”(Spline)是工程绘图中的一种工具,它是有弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点处具有连续的曲率。样条函数就是对这样的曲线进行数学模拟得到的。 它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。 样条插值 设y = f(x)在点 x0，x1，x2, ??? xn的值为y0，y1，y2, ???yn，若函数S(x)满足下列条件 （1）S(xi)=f(xi) =yi , i=0,1,2,???,n (1.1) （2）在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,???,n-1)上S(x)是三次多项式，记为 （3）S(x)在[a,b]上二阶连续可微。 则称S(x)为函数f(x)的三次样条插值函数, 简称 三次样条。 二、三次样条函数的概念 以节点处的二阶导数为参数的三次样条插值函数 三、三次样条插值函数的构造 再次积分得： 三次样条插值函数的构造 化简得： 三次样条插值函数的构造 由上式可解出： 代入： 得： 三次样条插值函数的构造 第j个区间上的三次样条插值函数 三次样条插值函数的构造 因此，只要能求出所有的{M i}，就能求出样 条插值函数S(x).下面考虑Mi的求法 由S(x)在节点的一阶导数的连续性 三次样条插值函数的构造 化简得 再化简得 三次样条插值函数的构造 称为三次样条的M关系式 特点：n+1个未知数，n-1个方程 称为三弯矩方程 可得： 三次样条插值函数的构造 上面的方程组有n-1个方程，但有n+1个变量Mi，故还需两个方程才能求唯一解，为此引入下列边界条件 第一型边界条件： 已知f(x)在两端点的导数 ,要求 第二型边界条件： 已知f(x)在两端点的二阶导数 要求 S″(a)=M0 = f″(a) , S″(b)=Mn= f″(b) 特别当 S″(a)= S″(b) =0时，S(x)称为自然三次样条 三次样条插值函数的构造 第三型边界条件： 已知f(x)是以b -a为周期的周期函数 ，要求S(x)满足 周期条件 三次样条插值函数的构造 化简得 三次样条插值函数的构造 联立方程组： 三次样条插值函数的构造 不难看出； 三次样条插值问题的解是存在且唯一的。 三次样条插值函数的构造 说明 三次样条插值函数的构造 已知函数f(x)的数值表如下： x 2 4 6 f(x) 3 7 13 f′(x) 1 -1 试求f(x) 在[2,6]上的三次样条插值函数 解：这是第一类边界条件的问题 ，n=2,hi=h=2, 由公式知α2 =β0 =1 ， 例5.1 三次样条插值函数的构造 得方程组 2 M0 + M1 = 3