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* 明德 砺志 博学 笃行 附录Ⅰ 平面图形的几何性质 §1-1 截面的静矩和形心 §1-4 转轴公式 §1-2 极惯性矩 惯性矩 惯性积 §1-3平行移轴公式 §1-1 截面的静矩和形心 一、静矩 O y z dA y z 截面对 y , z 轴的静矩为 静矩可正，可负，也可能等于零. y z O dA y z 二、截面的形心 C （2）截面对形心轴的静矩等于零. （1）若截面对某一轴的静矩等于零，则该轴必过形心. 三、组合截面的静矩和形心 由几个简单图形组成的截面称为组合截面. 截面各组成部分对于某一轴的静矩之代数和，等于该截 面对于同一轴的静矩. 其中 Ai —第 i个简单截面面积 1.组合截面静矩 2.组合截面形心 —第 i个简单截面的形心坐标 解：组合图形，用正负面积法解之. 方法1 用正面积法求解. 将截面分为1，2 两个矩形. 例题1 试确定图示截面形心C的位置. 取 z 轴和 y 轴分别与截面的底边和左边缘 重合 10 10 120 1 2 O z y 90 图(a) 矩形 1 矩形 2 所以 10 10 120 1 2 O z y 90 方法2 用负面积法求解，图形分割及坐标如图(b) 图(b) C1（0,0） C2（5,5） C2 负面积 C1 y z §1-2 极惯性矩、惯性矩、惯性积 y z O dA y z ? 二、极惯性矩 一、惯性矩 所以 y z O dA y z ? 三、惯性积 （1）惯性矩的数值恒为正，惯性积则可 能为正值，负值，也可能等于零； （2）若y，z 两坐标轴中有一个为截面的 对称轴，则截面对y，z轴的惯性积 一定等于零. y z dy dy z dA dA 四、惯性半径 解： b h y z C z dz 例题2 求矩形截面对其对称轴y, z轴的惯性矩. z y d 解：因为截面对其圆心 O 的极惯性矩为 例题3 求圆形截面对其对称轴的惯性矩. 所以 y z O C(a,b) b a 一、平行移轴公式 (a , b ) ―形心C在 yOz坐标系下的坐标 §1-3 平行移轴公式 y,z ￣ 任意一对坐标轴 C ―截面形心 y z O C(a,b) b a zC yC yC , zC￣ 过截面的形心 C 且与 y, z轴平行 的坐标轴(形心轴） Iy , Iz , Iyz — 截面对 y, z 轴的惯性矩和惯性积. 已知截面对形心轴 yC ,zC 的惯性矩和惯性积，求截面对与形心轴平行的 y,z轴惯性矩和惯性积，则平行移轴公式 IyC , IzC , IyCzC￣ 截面对形心轴 yC , zC的惯性矩 和惯性积. 二、组合截面的惯性矩 、惯性积 组合截面的惯性矩，惯性积 ￣第 i个简单截面对 y, z 轴的惯性矩，惯性积. 例题4 求梯形截面对其形心轴 yC 的惯性矩. 解：将截面分成两个矩形截面. 20 140 100 20 截面的形心必在对称轴 zC 上. 取过矩形 2 的形心且平行于底边的 轴作为参考轴记作 y轴. 2 1 zC yC 所以截面的形心坐标为 y 20 140 100 20 y 2 1 zc yC 一 、转轴公式 §1-4 转轴公式 yOz为过截面上的任 一点建立的坐标系 O y z y1 z1 ? y1Oz1为yOz 转过? 角后形成的新坐标系 顺時针转取为 – 号 逆時针转取为 + 号 ? 已知截面对坐标轴轴 y, z 轴的惯性矩和惯性积求截面对 y1，z1 轴惯性矩和惯性积. 转轴公式为 O y z y1 z1 ? 显然 二、截面的主惯性轴和主惯性矩 主惯性轴：总可以找到一个特定的角?0 , 使截面 对新坐标轴y0 , z0的惯性积等于0 , 则称 y0 , z0 为主惯性轴. 主惯性矩：截面对主惯性轴y0 , z0 的惯性矩. 形心主惯性轴：当一对主惯性轴的交点与截面的形心重合时,则称为形心主惯性轴. 形心主惯性矩：截面对形心主惯性轴的惯性矩. ?? 求出后，就确定了主惯性轴的位置. （1）主惯性轴的位置 设 ?? 为主惯性轴与原坐标轴之间的夹角 则有 由此 （2）主惯性矩的计算公式 （3）截面的对称轴一定是形心主惯性轴. 过截面上的任一点可以作无数对坐标轴，其中必有一对是主惯性轴. 截面的主惯性矩是所