华工应用随机过程试卷及参考答案（大学期末复习资料）.docx

 PAGE \* MERGEFORMAT 1  PAGE \* MERGEFORMAT 17  PAGE \* MERGEFORMAT 1 华南理工大学 2011—2012 学年第一学期 《 应用随机过程 》考试试卷（A 卷） （闭卷 时间 120 分钟） 院/系 年级 __专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 总分 得 分      得分   一、填空题（每小题 4 分，共 16 分） 1、设X是概率空间(Ω,F,P)上的一个随机变量，且EX存在， C 是F的子σ－域，定义E(XC)如下：（1）_______________ ； （2） _____________________________________________ ； 2、设{N (t),t ≥ 0}是强度为λ的 Poisson 过程，则 N (t)具有_____ 、 _____增量，且?t 0，h 0充分小，有：P({N (t + h)? N (t) = 0})＝ ________，P({N (t + h)? N (t) =1})＝_____________； 3、设{W (t),t ≥ 0}为一维标准 Brown 运动，则?t 0，W (t) ～____， 且与 Brown 运动有关的三个随机过程____________、________ ______________、______________都是鞅（过程）； 4、倒向随机微分方程（BSDE）典型的数学结构为__________ ______________________________，其处理问题的实质在于 ______________________________________________________。 得分  二、证明分析题（共 12 分，选做一题） 1、设X是定义于概率空间(Ω,F,P)上的非负随机变量，并且具有 指数分布，即：P({X ≤ a}) =1?e?λa ，a 0，其中λ是正常数。设λ是 另一个正常数，定义：Z = λ λe?(λ?λ)X ，由下式定义：P(A)=∫AZdP， ?A∈F ；（1）证明：P(Ω) =1；（2）在概率测度P 下计算的分布函 数：P({X ≤ a})，a 0； 2、设X0～U (0,1)，Xn+1～U (1?Xn,1)，n≥1，域流{Fn,n≥ 0}满足： Fn =σ(Xk,0 ≤k≤n)，n≥ 0 ；又设Y0 = X0 ，Yn = 2n ?∏kn=1 1 X?kX ?1 k ， n ≥1，试证：{Yn,n ≥ 0}关于域流{Fn,n ≥ 0}是鞅！ 三、计算证明题（共 60 分） 得分  1、（12 分）假设 X～E(λ)，给定c 0，试分别由指数分布的无记 E(XIA ) 忆性和E(X A) = ，求E(XX c)； P(A) 2、（10 分，选做一题） （1）设 X～E(λ)，Y～E(μ)，λ μ，且 X,Y 相互独立；?c 0，设 fX X +Y (x c)为给定 X +Y = c 时 X 的条件概率密度，试求之并由此求 E(X X +Y = c)； ?1 （2）设(X,Y)～f (x, y) = ??x ,0 ≤ y ≤ x ≤1;，试求 fY X (y x)及 ?? 0,其它； P(X 2 +Y 2 ≤1X = x)，并由此（连续型全概率公式）求P({X 2 +Y 2 ≤1})； 3、（4 分，选做一题）（1）设X,Y独立同U [0,1]分布，试基于微元法由条件密度求E(XX Y)；（2）设(X,Y)～U (D)，D:0 ≤ y≤x≤1，试由条件数学期望的直观方法求E(YX )、E ??(Y ? X )2X ??； 4、（10 分）设 X1, X2,?, Xn 独立同U [0,1]分布，Y = min{X1, X2,?, Xn}，试由条件数学期望的一般定义求E(X1Y) = E(X1 σ(Y))； 5、（14 分）设{N (t),