集合论初步和关系剖析.ppt

第二篇 集合论 研究内容 本篇由集合论初步、关系、有限集与无限集、函数四部分构成。 集合论的发展历程 集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的。 1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。 1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 罗素悖论 1901年罗素提出以下悖论：设论述域是所有集合的集合，并定义集合 这样，S是不以自身为元素的全体集合的集合，那么“S”是不是它自己的元素呢？ 罗素悖论起因于集合可以是自己的元素的概念。康脱以后创立的许多公理化集合论都直接或间接地限制集合成为它自己的元素，因而避免了罗素悖论。 罗素的理发师悖论 住在一个村子里的理发师挂了一个牌子，上面写到：我只给不给自己理发的人理发。 考虑这个理发师给不给自己理发？ 集合论发展的详细历程 G. Cantor(康脱)是作为数学分支的集合论的奠基人。1870年前后，他关于无穷序列的研究导致集合论的系统发展。1874年他发表了关于实数集合不能与自然数集合建立一一对应的有名的证明。1878年，他引进了两个集合具有相等的“势”的概念。然而，朴素集合论中包含着悖论。 第一个悖论是布拉利-福尔蒂的最大序数悖论。1901年罗素发现了有名的罗素悖论。1932年康脱也发表了关于最大基数的悖论。 集合论的现代公理化开始于1908年策梅罗所发表的一组公理，经过弗兰克尔的加工，这个系统称为策梅罗-弗兰克尔集合论（ZF），其中包括1904年策梅罗引入的选择公理。另外一种系统是冯·诺伊曼-伯奈斯-哥德尔集合论。公理集合论中一个有名的猜想是连续统假设（CH）。 哥德尔证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的相容性，科恩证明了连续统假设与策梅罗-弗兰克尔集合论的独立性。现在把策梅罗-弗兰克尔集合论与选择公理一起称为ZFC系统。 集合论的应用 现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。 集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。 集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。 第一章 集合论初步 集合是现代数学各分支的共同基础，当然也是本书的基础，要求熟练地掌握本章的全部内容。本章的一些内容，如集合的定义、并、交、文氏图等已在中学及大学的其他课程中学习过，但为了内容的完整及这些内容基础地位，仍然会简单介绍一下。 本章主要讲述集合的基础理论、基本方法和应用。 §1.1集合的基本概念 集合的定义 具有某种共同性质的事物 汇集为一个整体称为集合。 集合不能精确定义。一般用A、X等表示。 元素 构成这个集合的每一个事物称为元素。可以是具体东西，也可以是抽象的。 任一元素或属于该集合或不属于该集合，记为 集合的表示方法 列举法 列出集合的所有元素。 描述法 用谓词来概括集合中元素的属性来表示这个集合。 例： B＝{x|x∈R且x2－1＝0} 表示方程x2－1＝0的实数解集。 归纳定义法 集合间的关系 设A、B为集合，两集合的元素相等，则集合相等记为A=B；否则A≠B 设A，B为集合，如果B中的每个元素都是A中的元素，则称B是A的子集合，简称子集。这时也称B被A包含，或A包含B，记作 。 真包含关系: 记作 注意集合、元素之间的关系 属于关系和包含关系都是两个集合之间的关系，对于某些集合可以同时成立这两种关系。 例如A＝{a，{a}}和B={a}，既有{a}∈A，又有 {a} A。前者把它们看成是不同层次上的两个集合，后者把它们看成是同一层次上的两