多元函数微分剖析.ppt

第九章 第一节 一、平面点集 n维空间 1.平面点集 通过引入坐标系，平面上的点 与二元有序实数组 之间的对应，建立了坐标平面，表示为： 说明 二元函数的定义中包含两大要素：定义域 D ， 对应规律 f 表示二元函数的记号 f 也可以是任意选取的， 例如也可记为： z =F(x,y), z = z(x,y) 二元函数的定义域不是实数轴上的点集，而是 平面上的点集。 3. 如何求二元函数的定义域 对于实际问题，由问题本身的意义所决定 对于用算式表达的多元函数，其定义域就是使这个算式有意义的变元 x 的值所组成的点集。 说明 结论 四则运算不破坏函数的连续性；即多元连续函数的和、差、积仍为连续函数，在分母不为零处，连续函数的商也是连续函数。 多元连续函数的复合函数也是连续函数 一切多元初等函数在其定义区域内连续，所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域 3. 多元函数的极限 备用题 3. 证明 例如函数 在点(0 , 0) 极限不存在， 又如,函数 上间断. 故 ( 0, 0 )为其间断点. 在圆周 多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数. 解: 原式 例6.求 有界闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值． 在有界闭区域D上的多元连续函数必取介于最大值和最小值之间的任何值． （1）有界性与最大值和最小值定理 （2）介值定理 内容小结 1. 区域 邻域 : 区域 连通的开集 2. 多元函数概念 n元函数 常用 二元函数 (图形一般为空间曲面) 三元函数 有 4. 多元函数的连续性 1) 函数 2) 闭域上的多元连续函数的性质: 有界定理 ; 最值定理 ; 介值定理 3) 一切多元初等函数在定义区域内连续 1. 设 求 解 令 * 推广 一元函数微分学 多元函数微分学 注意: 善于类比, 区别异同 多元函数微分法 及其应用 一、平面点集 n 维空间 二、多元函数的概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 多元函数的基本概念 坐标平面上具有某种性质P的点的集合，称为平面点集，表示为： 具有性质 例：以原点为中心，r为半径的圆内点的集合。 邻域 在讨论实际问题中也常使用方邻域, 平面上的方邻域为 因为方邻域与圆 邻域可以互相包含. (1) 内点、外点、边界点 设有点集 E 及一点 P ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)? E , ? 若存在点 P 的某邻域 U(P)∩ E = ? , 若点 P 的任一邻域 U(P) 既含有属于 E 的点， 也含有不属于 E中的点 ,则称 P 为 E的边界点 则称 P 为 E 的 内点； 则称 P 为 E 的 外点 ; 显然, E 的内点必属于 E , E 的外点必不属于 E , E 的边界点可能属于 E, 也可能不属于 E . 下面介绍点与点集之间的关系。 ? 内点一定是聚点； 说明： ? 边界点可能是聚点； 例 (0,0)既是边界点也是聚点． E 的边界点的全体称作E的边界，记作 ? 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E． 例如, (0,0) 是聚点但不属于集合． 例如, 边界上的点都是聚点也都属于集合． 所有聚点所成的点集成为 E 的 导集 . 连通集：如果点集E内的任何两点，都可以用折线连结起来，且折线上的点都属于E，则称E为连通集 开集：如果点集E的点都是E的内点，称E为开集 为开集 为闭集 闭集：如果点E的余集 为开集，则称E为闭集。 既非开集，也非闭集 连通的开集称为区域或开区域． 例如： 例如： 无界开区域． 例如： 有界集：对于平面点集E，如果存在某一个正数r, 使得 其中 为圆点，则 称E为有界集。 无界集：一个集合如果不是有界集，则为无界集。 有界闭区域； 2. n 维空间 n 维空间中的每一个元素 空间中的一个点，数 称为该点的第 k 个坐标. 当所有坐标 则称该元素为 中的 零元 记作 0 。 在该集合上定义了线性运算, 则构成了 维空间， ，称为 特殊地，当 时，它便为数轴、平面、空间两点间的距离． n 维空间中的元素 与零元0之间的距离 记为 ，（在n=1,2,3时记做 ）。 设两点为 n 维空间 中