正交矩阵有关结果.docVIP

正交矩阵的有关结果 一、定义： 设是阶矩阵，若，则称矩阵为正交矩阵。 由定义容易验证：(1) 正交矩阵的每一行(列)元素的平方和等于1； (2) 不同行(列)对应元素的乘积等于0。 二、性质： 1、若是正交矩阵，则。 2、设是阶正交矩阵，证明：(1) 如果，则的每一元素等于它自己的代数余子式；(2) 如果，则的每一元素等于它自己的代数余子式的负值。 证明：由定义知：，而 ，所以。 又，所以。 从上式得需要的结果。 3、设是阶实矩阵，证明：(1) 如果，且的每一元素等于它自己的代数余子式，则是正交矩阵；(2) 如果，且的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则是正交矩阵。 证明：(1) 因为，所以是正交矩阵。 类似可以证明(2)。 4、设是阶实矩阵，，且。证明：(1) 如果的每一元素等于它自己的代数余子式，则是正交矩阵；(2) 如果的每一元素等于它自己的代数余子式的负值，则是正交矩阵。 证明：由的每一元素等于它自己的代数余子式，得：。 两边取行列式得：，所以 (*)。 因为，所以至少有一个元素不等于零。不妨设，则 而，则从(*)式得。从性质3结果知是正交矩阵。 类似可以证明(2)。 5、设是一个阶正交矩阵，证明：（1）如果有特征值，则的特征值只能是1或；（2）如果，则是的一个特征值；（3）如果，且是奇数，则1是的一个特征值。 证明：(1) 设是矩阵的一个特征值，是对应的特征向量，则。 从而　　(*) 由于是正交矩阵，所以。 从而由(*)式得：。 因为，所以。 因此，即。 (2) 所以，即是的一个特征值。 (3) 由此得。 6、已知正交矩阵有二个不同特征值，证明的属于不同特征值的特征向量一定正交。 证明：由性质5知：。 因为正交矩阵有二个不同特征值，所以这二个不同的特征值分别为1和。 设这二个特征值对应的特征向量分别为，则。 由此得： 从而，即正交。