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函数的最大(小)值与导数及生活中的优化问题举例 设计：高二数学组 时间：2013－1－2 学案编号：2012G2025 班级 姓名 小组 【学习目标】 ⒈理解函数的最大值和最小值的概念； ⒉掌握用导数求函数最值的方法和步骤. 3.通过利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用； 4.培养学生数学知识的应用意识，应用导数, 解决生活中的优化问题。 【重难点预测】重点：用导数求函数最值的方法和步骤 难点：应用导数解决生活中的优化问题。 【使用说明】1.认真阅读教材，把重要的知识点画出来做好标记。 2.先独立完成知识链接部分，合作探究部分由小组讨论共同完成。 3.展示学完后认真整理保存导学案。 【知识链接】 求可导函数f(x)的极值的步骤: （1）确定函数的定义域； (2)求导数f′(x)； （3）求方程f′(x)=0的根； （4）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值. 【合作探究】 1.函数的最大（小）值 问题：观察在闭区间上的函数的图象，你能找出它的极大（小）值吗？最大值，最小值呢？在图1中，在闭区间上的最大值是 ，最小值是 ；在图2中，在闭区间上的极大值是 ，极小值 是 ；最大值是 ，最小值是 . 新知：一般地，在闭区间上连续的函数在上必有最大值与最小值. 2.试试： 右图的极大值点为 ，极小值点为 ； 最大值为 ，最小值为 . 反思： （1）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． （2）函数在闭区间上连续，是在闭区间上有最大值与最小值的 条件 （3）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，可能一个没有. 3.导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面（1）与几何有关的最值问题；2）与物理学有关的最值问题； （3）与经济中利润及其成本有关的最值问题；（4）效率最值问题。 4.利用导数解决优化问题的基本思路： 【范例讲解】 例1求函数的最大值与最小值. 小结：求最值的步骤 （1）求的极值；（2）比较极值与区间端点值，其中最大的值为最大值，最小的 值为最小值. 例2 函数，当时，恒成立，求实数的取值范围。 变式：已知函数在上有最小值. （1）求实数的值； （2）求在上的最大值． 例3海报版面尺寸的设计 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2，上、下两边各空2dm，左、右两边各空1dm，如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？ 例4用料最省优化问题 圆柱形金属饮料罐的容积一定时，它的高与底与半径应怎样选取，才能使所用的材料最省？ 解：设圆柱的高为h，底半径为R 例5利润优化问题 已知某商品生产成本C与产量q的函数关系式为C=100+4q，价格p与产量q的函数关系式为．求产量q为何值时，利润L最大？ 【归纳整理，整体认识】 1.设函数在上连续，在内可导，则求在上的最大值与最小值的步骤 2.利用导数解决优化问题的基本思路 【达标测评】 1. 若函数在区间上的最大值、最小值分别为M、N，则的值为（ ） A．2 B．4 C．18 D．20 2. 函数 （ ） A．有最大值但无最小值 B．有最大值也有最小值 C．无最大值也无最小值 D．无最大值但有最小值 3. 已知函数在区间上的最大值为，则等于（ ） A． B． C． D．或 4. 已知函数，（1）求的单调区间；（2）若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 5.在边长为60 cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱底的容积最大？最大容积是多少？ 6.某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 (单位：千克)与销售价格 (单位：元/千克)满足关系式，其中，为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． ⑴求的值； ⑵ 若该商品的成品为3元/千克, 试确