4.2同角三角函数基本关系及诱导公式.docxVIP

中 国 教 育 培 训 领 军 品 牌 PAGE  全力以赴 赢在环雅PAGE \* MERGEFORMAT13 §4.2　同角三角函数基本关系及诱导公式 教学目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出eq \f(π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式． 2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1(平方关系)，eq \f(sinα,cosα)＝tanα(商数关系)． 3. 能正确运用同角三角函数的基本关系式及诱导公式进行简单三角函数式的化简、求值． 学习内容 知识梳理 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：eq \f(sin α,cos α)＝tan α. 2． 下列各角的终边与角α的终边的关系 角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－α图示与角α终边的关系相同关于原点对称关于x轴对称角π－αeq \f(π,2)－αeq \f(π,2)＋α图示与角α终边的关系关于y轴对称关于直线y＝x对称3．诱导公式 组数一二三四五角2kπ＋α(k∈Z)－α(2k＋1)π＋α(k∈Z)eq \f(π,2)＋αeq \f(π,2)－α正弦sin_α－sin_α－sin_αcos_αcos_α余弦cos_αcos_α－cos_α－sin_αsin_α正切tan_α－tan_αtan_α－cot αcot α口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限奇变偶不变，符号看象限（“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指eq \f(π,2)的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.）例题讲解 题型一　同角三角函数关系式的应用 例1　(1)已知cos(π＋x)＝eq \f(3,5)，x∈(π，2π)，则tan x＝________. (2)已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于(　　) A．－eq \f(4,3) B.eq \f(5,4) C．－eq \f(3,4) D.eq \f(4,5) 思维启迪　(1)应用平方关系求出sin x，可得tan x； (2)把所求的代数式中的弦转化为正切，代入可求． 答案　(1)eq \f(4,3)　(2)D 解析　(1)∵cos(π＋x)＝－cos x＝eq \f(3,5)，∴cos x＝－eq \f(3,5). 又x∈(π，2π)， ∴sin x＝－eq \r(1－cos2x)＝－eq \r(1－?－\f(3,5)?2)＝－eq \f(4,5)， ∴tan x＝eq \f(sin x,cos x)＝eq \f(4,3). (2)sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ＝eq \f(sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ,sin2θ＋cos2θ) ＝eq \f(\f(sin2θ,cos2θ)＋\f(sin θcos θ,cos2θ)－2,\f(sin2θ,cos2θ)＋1)＝eq \f(tan2θ＋tan θ－2,tan2θ＋1)＝eq \f(22＋2－2,22＋1)＝eq \f(4,5). 思维升华　(1)利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用eq \f(sin α,cos α)＝tan α可以实现角α的弦切互化． (2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二． (3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α. 巩 固　 (1)已知eq \f(1＋sin x,cos x)＝－eq \f(1,2)，那么eq \f(cos x,sin x－1)的值是 (　　) A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2) C．2 D．－2 (2)已知tan θ＝2，则sin θcos θ＝________. 答案　(1)A　(2)eq \f(2,5) 解析　(1)由于eq \f(1＋sin x,cos x)·eq \f(sin x－1,cos x)