高中数学：1.3.10《反证法》教案（北师大版选修2-2）.docVIP

第十课时 反证法 一、教学目标：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法──反证法；了解反证法的思考过程特点。了解反证法的思考过程特点反证法反证法的思考过程特点，求证：中，至少有一个数大于25。 证明：假设命题的结论不成立，即均不大于25，那么 ， 这与已知条件相矛盾。所以，中，至少有一个数大于25。 例2、求证：1，2，不可能是一个等差数列中的三项。 证明：假设1，2，是公差为d的等差数列的第p，q，r项，则 ，于是 。 因为p，q，r均为整数，所以等式右边是有理数，而等式左边是无理数，二者不可能相等，推出矛盾。 所以，1，2，不可能是一个等差数列中的三项。 例3、如图所示，直线a平行于平面α，β是过直线a的平面，平面α与β相交于直线b，求证：直线a平行于直线b。 证明：假设命题的结论不成立，即“直线a不平行于直线b”。 由于直线a，b在同一平面β中，且直线a，b不平行。 故直线a，b相交， 设交点为A，A在直线b上，故A在平面α上。 所以，直线a与平面α相交于A。这与条件“直线a平行于平面α”矛盾。 因此，假设不成立，即“直线a平行于直线b”。 （三）、小结：反证法与直接证法是相对而言的，在证明过程中我们不能僵化的使用反证法。对于一个证明来说，可能要交替地使用这两种证法。 1.哪些命题适宜用反证法加以证明？笼统地说，正面证明繁琐或困难时宜用反证法；具体地讲，当所证命题的结论为否定形式或含有“至多”、“至少”等不确定词，此外，“存在性”、“唯一性”问题. 2.归谬是“反证法”的核心步骤，归谬得到的逻辑矛盾，常见的类型有哪些？归谬包括推出的结果与已知定义、公理、定理、公式矛盾，或与已知条件、临时假设矛盾，以及自相矛盾等各种情形。 (四)、练习：1、课本练习2。 2、（1）用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（ ） ( A ) 假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度； (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。 （2）已知＝2，p＋q （C）一定不小于 （D）一定不小于2 解析 用反证法可得（1）应选（B） （2）应选（A） 3、 用反证法证明命题“如果那么”时，假设的内容应为_____________. 解析：用反证法可得应填 或 4、如果为无理数，求证是无理数. 提示：假设为有理数，则可表示为（为整数），即. 由，则也是有理数，这与已知矛盾. ∴ 是无理数. （五）、作业：课本习题1-3： 1、5 补充题：对于直线l：y=kx+1，是否存在这样的实数k，使得l与双曲线C：3x－y=1的交点A、B关于直线y=ax（a为常数）对称？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。 证明：（反证法）假设存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称，设A（x1，y1）、B（x2，y2）则 由 ④ 由②、③有a（x1+x2）=k（x1+x2）+2 ⑤ 由④知x1+x2= 代入⑤整理得：ak=－3与①矛盾。 故不存在实数k，使得A、B关于直线y=ax对称。 五、教后反思： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m