高中数学（新课标人教A版）教学设计 必修一：131 单调性与最大小值.docVIP

教学设计 1.3.1　单调性与最大(小)值 第1课时 教学目标 1．使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法． 2．通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力． 3．通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程． 重点难点 教学重点：函数单调性的概念、判断及证明． 教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性． 教学方法 教师启发讲授，学生探究学习． 教学手段 计算机、投影仪． 创设情境，引入课题 课前布置任务： (1)由于某种原因，2008年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况． 课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事． 下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图． 图1 引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考． 问题：观察图形，能得到什么信息？ 预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到； (2)在某时刻的温度； (3)某些时段温度升高，某些时段温度降低． 在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的． 问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？ 预案：水位高低、燃油价格、股票价格等． 归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小． 【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣． 归纳探索，形成概念 对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义． 1．借助图象，直观感知 问题1：分别作出函数y＝x＋2，y＝－x＋2，y＝x2，y＝的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？ 图2 预案：(1)函数y＝x＋2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数y＝－x＋2在整个定义域内y随x的增大而减小． (2)函数y＝x2在上为增函数． ③若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数． ④因为函数f(x)＝在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上都是减函数，所以f(x)＝在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数． 通过判断题，强调三点： ①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)． ③函数在定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在A∪B上是增(或减)函数． 思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？ 【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识． 掌握证法，适当延展 【例】证明函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数． 1．分析解决问题 针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流． 证明：任取x1，x2∈(，＋∞)，且x1＜x2，设元 f(x1)－f(x2)＝－求差 ＝(x1－x2)＋ ＝(x1－x2)＋＝(x1－x2)＝(x1－x2)，变形 ∵＜x1＜x2， ∴x1－x2＜0，x1x2＞2，∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，断号 ∴函数f(x)＝x＋在(，＋∞)上是增函数．定论 2．归纳解题步骤 引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论． 练习：证明函数f(x)＝在 (1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用． (2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题． 2．过程与方法 (1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育． (2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确． 3．情感、态度与价值观 理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象． 重点难点 教学重点：函数最大(小)值的定义和求法． 教学难点：如何求一个具体函数的最值． 导入新课 思路1．某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址，新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙y m，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y