高中数学新课标任教A版必修五教学设计：3.4基本不等式.docVIP

教学课题 必修5第3章第四节 基本不等式 课标要求 知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式； 情感目标：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣； 识记 理解 应用 综合 知识点一： 基本不等式及其推导过程 ∨ 知识点二： 基本不等式的应用 ∨ 目标设计 1.通过从不同角度探索不等式 的证明过程，使学生理解基本不等式及其等号成立的条件； 2.掌握基本不等式解决最值问题，并理解运用基本不等式的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值中的作用。 教学过程设计 情境设计 问题设计 情境一：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。 教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。 问题1：你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 分析：将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。 我们考虑4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为。 由图可知，即．。 新知：若，则 情境二：先将两张正方形纸片沿它们的对角线折成两个等腰直角三角形，再用这两个三角形拼接构造出一个矩形（两边分别等于两个直角三角形的直角边，多余部分折叠）．假设两个正方形的面积分别为和（）， （1）若（定值），则当且仅当时，有最小值； （2）若（定值），则当且 仅当时，有最大值． 问题2：考察两个直角三角形的面积与矩形的面积，你能发现一个不等式吗？，则 问题3：你能用代数的方法给出它们的证明吗？ 证明：因为 即（当时取等号） （在该过程中，可发现的取值可以是全体实数） 证明：（分析法）：由于，于是 要证明 ， 只要证明 ， 即证 ，即 ， 所以，（当时取等号） 【板书】两个重要不等式 若，则（当且仅当时，等号成立） 若，则（当且仅当时，等号成立） 问题4：（1）用篱笆围一个面积为100平方米的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （2）一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【板书】利用基本不等式求最值时，一定要注意三个限制条件（一正二定三相等）缺一不可。 例1：函数，在下列哪个区间内有最小值，若有请求出；若没有，说明理由？ （1） （2） （3） 例2：已知，， （1）求的最大值；（2）求的最小值； 【习题设计】 1.求下列函数的最值（利用基本不等式求最值） （1）的最小值（难度★） （2）若，求的最小值（难度★★） 2.已知直角三角形的面积为50，两条直角边各为多少时，两条直角边的和最小，最小值是多少？ （利用基本不等式求最值；难度★★★） 3.下列函数的最小值为的是：（一正二定三相等；难度★★★★） A． B． C． D． 4.求下列代数式的最小值（一正二定三相等） （1）已知，且，求的最小值．，且，求的最小值．m3,深为3m，如果池底每1m2的造价为150元，池壁每1m2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ （利用基本不等式求最值；难度★★★★★） 认知层次 知识点