高中数学教案：平面向量的数量积及其运算律（原创）.docVIP

平面向量的数量积及其运算律 导学目标 理解平面向量的数量积的含义及其物理意义，掌握平面向量数量积的性质。 通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及其思想。 通过师生互动、自主探究、交流与学习，培养学生探求新知识以及合作交流的学习品质。 导学重点 平面向量的数量积 导学难点 向量数量积的运算及其性质 导学过程 导入 我们已经学习了向量的加法、减法和数乘，它们的运算结果都是向量，那么向量与向量之间有没有“乘法”运算呢？这种新的运算结果又是什么呢？ 联想：物理中，功就是矢量与矢量“相乘”的结果。 问题 物理学中的“功”是通过什么方法计算出来的？ 通过对物理公式 （其中是F与的夹角）的分析，得到如下结论： （1）功是两个向量和的某种运算的结果，而且这个结果是一个数量； （2）功不仅与力和位移的大小有关，而且还与它们的方向有关，具体地，它和力与位移的夹角有关。 由此可见，“求功运算”作为一种新的向量运算，不同于我们以前学习过的其他数学运算。 导疑、导研 问题 从求功的运算中，可以抽象出什么样的数学运算？（学生讨论） 平面向量的数量积 最初的认识 学生讨论：如把力和位移抽象地看成两个“向量”，把力与位移的夹角抽象地看成两个向量的夹角，就可以得到一种新的运算，它就是从向量得到一个数量（即）的运算，这里是向量的夹角。 进一步表述 引进“向量的数量积”等术语后，就可以把上面的结果进一步表述为： 已知两个向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即=。 两个向量的夹角 问题 在上面的向量数量积的定义中，提到了“两个向量的夹角”的概念，它究竟代表什么意义呢？ 从实际背景中的“力”和“位移”的夹角出发，展开讨论，得到下面的结论： 对于两个非零向量和，作，则（）叫做向量和的夹角。 特别地，当向量与的夹角分别等于和时，两个向量分别是同向、反向和垂直。向量与垂直，记作。 在讨论中应注意上述定义中对向量的“非零”限制。 平面向量的数量积 表述的精确化 问题 在进一步弄清了“向量的夹角”的意义以后，应该怎样更精确地表述向量的数量积的概念？ 问题 零向量有没有数量积？应该如何定义？ 问题 在实际的“求功运算”中是怎样解决这个问题的？ 通过讨论，得到“数量积”的定义： 已知两个向量和，它们的夹角为，我们把数量叫做和的数量积（或内积），记作，即=。同时规定：与任何向量的数量积为0，即。 对定义的理解 尽管向量数量积是从求功运算中抽象出来的，但是，它已经是一种抽象的数学运算了。一般地，它已经不具有“求功”的具体意义了。在引入向量的数量积以后，物理学中的功的概念就可以用数学语言表述为：功就是力与在其作用下物体产生的位移的数量积，即 两个向量数量积的结果是一个实数，这与向量的加法、减法和数乘运算是不同的。 注意：，等式右边的零是一个实数，而不是零向量。 数量积的运算性质 问题 向量的数量积有什么样的性质？ 在实数乘法中，我们有：同号时，，特别地，异号时，有。在向量的数量积中，类似的结论成立吗？ 经过讨论得到下面的结论： 当与同向时，，特别地，或； 当与反向时，。 用类似的方法，可以得到下面的结论： 设向量和实数，则向量的数量积满足下列运算律： ①； ②； ③ 导练 例1 判断下列说法是否正确： 向量的数量积可以是任意实数。 若，则对任意向量，有。 若，则对任意非零向量，有。 如果＞0，那么与的夹角为锐角。 若，，则。 若，，则。 例2 已知向量与的夹角为，，分别在下列条件下求： （1） ；（2）∥ ；（3） (直接应用) 例3 已知正△ABC的边长为2，设，求 变式：在平行四边形ABCD中，已知,,,求： （1）；（2）；（3） 四、导评 向量数量积的物理模型是力的做功，两个非零向量夹角的范围是，平面向量的数量积是一个实数。 平面向量的数量积是向量的一种新的运算，它的定义、法则和性质不同于以往的运算，它是从物理中的“求功运算”中抽象出来的，从数、式的运算到向量的运算，是运算的一次飞跃。 导学训练 教科书第81页习题2.4第1,2,3题 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m