广东省东莞市南开实验学校高一数学教案：（2.2.2 向量减法运算及其几何意义）1 必修四.docVIP

三维目标 1.通过探究活动,使学生掌握向量减法概念,理解两个向量的减法就是转化为加法来进行,掌握相反向量. 2.启发学生能够发现问题和提出问题,善于独立思考,学会分析问题和创造地解决问题.能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量. 重点难点 教学重点:向量的减法运算及其几何意义. 教学难点:对向量减法定义的理解. 课时安排 1课时 教学过程 导入新课 思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课. 思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现. 推进新课 新知探究 提出问题 ①向量是否有减法？ ②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？ ④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？ 活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量. 于是-(-a)=a. 我们规定,零向量的相反向量仍是零向量. 任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0. 所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. (1)平行四边形法则图1 如图1,设向量=b,=a,则=-b,由向量减法的定义,知=a+(-b)=a-b. 又b+=a,所以=a-b. 由此,我们得到a-b的作图方法. 图2 (2)三角形法则 如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义. 讨论结果:①向量也有减法运算. ②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量. 与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a. ③向量减法的定义.我们定义 a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量. 规定:零向量的相反向量是零向量. ④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现. 提出问题①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:①=b-a②略. 应用示例 如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d. 图3 活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平移作出两个同起点的向量. 作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作=a,=b,=c,=d.则=a-b,=c-d. 变式训练 2006上海高考在ABCD中,下列结论中错误的是( ) A.=B.AD+= C.-AD=BD D.AD+=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,-=错误,D中,+=+=0正确. 答案:C 如图4,ABCD中, =a,=b,你能用a、b表示向量、吗? 图4 活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系. 解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道=a+b, 同样,由向量的减法,知=-=a-b. 变式训练 1.2005高考模拟已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量等于( ) A.a+b+cB.a-b+c C. a+b-c D.a-b-c 图5 解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有=+=+=+-=a-b+c. 答案:B 2.若=a+b,=a-b. ①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？ ③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？ 图6 解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量、恰为平行四边形的对角线. 由平行四边形法则,得 =