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第二节 二重积分的计算(一) 分布图示 ★ 利用直角坐标系计算二重积分 ★ 关于积分限的确定 ★ 例1 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 交换二重积分次序的步骤 ★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★ 例17 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题9 -2 ★ 返回 内容要点 一、在直角坐标系下二重积分的计算 对型区域：，有 (2.2) 对型区域：，有 (2.3) 二、交换二次积分次序的步骤 （1）对于给定的二重积分 先根据其积分限 画出积分区域D（图9-2-13）； （2）根据积分区域的形状，按新的次序确定积分区域D的积分限 （3）写出结果 三、利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 利用被积函数的奇偶性及积分区域D的对称性，常会大大化简二重积分的计算. 在例5中我们就应用了对称性来解决所给问题. 如同在处理关于原点对称的区间上的奇（偶）函数的定积分一样，在利用这一方法时，要同时兼顾到被积函数的奇偶性和积分区域D的对称性两方面. 例题选讲 在直角坐标系下二重积分的计算 例1（E01）计算其中D是由直线及所围成的闭区域. 解一 如图，将积分区域视为型, 解二 将积分区域视为型, 例2 计算, 其中是由直线和所围成的闭区域. 解 如图,既是型,又是型.若视为型,则 原积分 若视为型，则 其中关于的积分计算比较麻烦，故合理选择积分次序对重积分的计算非常重要. 例3（E02）计算二重积分其中D是由抛物线及直线所围成的闭区域. 解 如图,既是型，也是型.但易见选择前者计算较麻烦，需将积分区域划分为两部分来计算，故选择后者. 例4（E03）计算 其中D由及y轴所围. 解 画出区域的图形.将表成型区域,得 因的原函数不能用初等函数表示.所以我们要变换积分次序. 将表成型区域,得 例5 计算其中D为. 解 例6 计算二重积分 其中区域是由, 所围成的矩形. 解 如图，因为是矩形区域,且所以 例7（E04）求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 成的立体的体积. 及利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积然后再乘以8即可.如图.易见所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为 它的顶是柱面于是, 故所求体积为 交换二次积分次序的步骤 例8 交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限: 可改写为: 所以 例9（E05）交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限: 可改写为: 所以 例10（E06）证明 其中a、b均为常数, 且. 证 等式左端二次积分的积分限:可改写为 所以 例11交换二次积分 的积分次序. 解 题设二次积分的积分限: 可改写为 所以 原式 例12 交换二次积分的积分次序. 解 题设二次积分的积分限:由 原式 例13 计算积分 解 不能用初等函数表示,先改变积分次序. 题设二次积分的积分限: 可改写为，所以 利用对称性和奇偶性化简二重积分的计算 例14（E07） 计算其中积分区域由曲线与所围成. 解 令因为关于轴对称,且 故 例15 计算 其中 解法一 先对积分,积分区域 故 解法二 先对积分，积分区域 故 解法三 利用对称性, 因为积分域关于轴对称，且函数关于是奇函数,所以 又 故 例16（E08）计算 其中区域 解 因为关于轴和轴对称，且关于或关于为偶函数 注: 若直接在上求二重积分，则要繁琐很多. 例17 证明不等式 其中 证 因为关于对称，所以，故 又由于及而的面积为 1. 由二重积分性质,有 课堂练习 1. 变换下列二次积分的次序： 2. 计算其中D是由直线及双曲线所围成的区域. 3. 计算二次积分