质点动能定理的证明(高中数学基础).docVIP

动能定理 质点动能定理的证明（高中数学基础） 如果质点m在恒力F作用下做直线运动，质点的位移为s，则根据牛顿第二定律和匀变速直线运动公式，可得 式中 称为质点的动能，这就是质点动能定理。 对于变力的情形，可以采用以下方法分析：将外力分解为两个分量，即切向力（与速度方向平行的分量）和法向力（与速度方向垂直的分量），根据功的定义，法向力与质点的位移垂直，因而不做功，因此外力的功就等于切向力的功。为了计算力做的功，可以把质点的位移分成若干小段的位移（称为位移微元或元位移，每一段元位移的方向可能各不相同），把这些元位移近似看做直线，作用在每一段元位移上的外力也可以近似看做恒力（类似的，作用在这每一段元位移上的外力的方向可能也各不相同），与之间的夹角为（当元位移充分小时的方向可以认为与速度方向相同），根据恒力作用下的质点动能定理，作用在元位移上的外力做的功（称为功微元或元功）为 上式中为作用在每一段元位移上的外力在方向上的分力。 为了计算外力做的功，把外力在每一段元位移上的元功相加，可得 元位移取得越小，以上两式的精确度就越高，如果把元位移取得越接近于零（也就是无限小，即），则上式中的功就是外力做的功的准确值。记为初速度，为末速度，则 如果用表示动能的增量，即 则前式可以简写为 这就是质点动能定理：外力做的功等于质点动能的增量，这样就证明了质点动能定理，这个定理仅适用于惯性系。 对于一维直线运动，质点动能定理表达为 上式中，，，分别为质点在时刻和时的速度；或者，，分别为质点在位置和处的速度。 以上证明方法的思路就是高等数学中微积分的基本思想，即划分-求和-取极限，先对经过的路径（积分路径）进行划分得到路径微元，定出要求的物理量微元（微分），然后把各个物理量微元相加求和（积分），最后令积分路径微元取无限小（取极限），即可得到所要求物理量的准确值。