空间向量立体几何(绝对经典)解析.ppt

解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F 为CD的中点,于是 A(0,0,0) , B(4,0,0), F(0,2 ,0), C(2, 2 ,0), D(-2, 2 ,0), P(0,0,4), E(0,0,2). 设面BED的法向量n=(x,y,z),由 得 n=(1, ,2). ∵ ∴n· 2+6-8=0，故PC∥面BED, ∴PC到面BED的距离就是P到面BED的距离, ∵ ∴. (1)向量垂直只对非零向量有意义，在证明或判断a⊥b时，须指明a≠0，b≠0；书写向量的数量积时，只能用符号a·b，而不能用符号a×b，也不能用ab. 求二面角最常用的办法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 答案　平行 45° (五)、空间位置关系的向量法： 异面直线所成角的范围： 思考： 结论： 题型一：线线角 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 题型二：线面角 直线与平面所成角的范围： 思考： 结论： 题型二：线面角 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 题型三：二面角 二面角的范围： 关键：观察二面角的范围 线线角 复习 线面角 二面角 小结 引入 2、E为平面α外一点,F为α内任意一 点, 为平面α的法向量,则点E到平面的距离为: 3、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b上的点, 是a,b公垂线的方向向量,则a,b间距离为 几何法 坐标法 一.引入两个重要的空间向量 1.直线的方向向量 把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是 z x y A B 求平面的法向量的坐标的一般步骤: 第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组 第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y. 第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. 例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量. A A A B C D O A1 B1 C1 D1 z x y 解：以A为原点建立空间直角坐标系O-xyz, 设平面OA1D1的法向量的法向量为n=(x,y,z), 那么O(1，1，0)，A1(0，0，2)，D1(0，2，2) 得平面OA1D1的法向量的坐标n=(2,0,1). 取z =1 解得: 得: 由 =（-1，-1，2）， =（-1，1，2） 例2已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ,求证: C C1⊥BD A1 B1 C1 D1 C B A D 证明：设 a, b, c, 依题意有| a |=| b |， 于是 a – b ∵ = c (a – b)= c·a –c·b = |c|·|a|cosθ–|c|·|b| cosθ=0 ∴C C1⊥BD 例3棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1, D,E分别是AC,CC1的中点,求证: (1)A1E ⊥平面DBC1; (2)AB1 ∥ 平面DBC1 A1 C1 B1 A C B E D z x y 解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴建立空间直角坐标系D-xyz.则 A(-1,0,0), B(0, ,0), E(1,0,1), A1(-1,0,2), B1(0, ,2), C1(1,0,2). 设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则 解之得 ， 取z = 1得n=(-2,0,1) (1) =- n,从而A1E ⊥平面DBC1 (2)