第五章 点的运动学_new资料.docVIP

第五章 点的运动学 ????本章将研究点的运动，包括点的运动方程、运动轨迹、速度、加速度等。点的运动学也是研究刚体运动的基础。 第一节?点的运动方程????点在取定的坐标系中位置坐标随时间连续变化的规律称为点的运动方程。点在空间运动的路径称为轨迹。在某一参考体上建立不同的参考系，点的运动方程有不同的形式。一、矢量法????设点作空间曲线运动，在某一瞬时t ，动点为M，如图5-1所示。选取参考体上某固定点O为坐标原点，自点O向动点M作矢量r，称r为点M相对于原点O的矢径。当动点M运动时，矢径r随时间而变化，并且是时间的单值连续函数，即 (5-1) ????上式称为矢量形式表示的点的运动方程。????显然，矢径r的矢端曲线就是动点的运动轨迹。 图5-1 二、直角坐标法????过点O建立固定的直角坐标系Oxyz，则动点M在任意瞬时的空间位置也可以用它的三个直角坐标x , y , z表示，如图5-1所示。由于矢径的原点和直角坐标系的原点重合，矢径r可表为 (5-2) ????式中 i , j , k 分别为沿三根坐标轴的单位矢量。坐标x , y , z也是时间的单值连续函数，即 (5-3) ????式(5-3)称为点的直角坐标形式的运动方程，也是点的轨迹的参数方程。三、自然法????当动点相对于所选的参考系的轨迹已知时，可以沿此轨迹确定动点的位置。在轨迹上任取固定点O 作为原点，选定沿轨迹量取弧长的正负方向，则动点的位置可用弧坐标s 来确定。如图5-2所示。动点沿轨迹运动时，弧长s 是时间的单值连续函数 (5-4) ????上式称为点用自然法描述的运动方程。 图5-2 ????以上三种形式的运动方程在使用上各有所侧重。矢量形式的运动方程常用于公式推导；直角坐标形式的运动方程常用于轨迹未知或轨迹较复杂的情况；当轨迹已知为圆或圆弧时，用自然法则较为方便。 第二节?点的速度和加速度????动点运动的快慢和方向用速度表示，速度的变化情况则用加速度表示。下面给出在各坐标系下，速度、加速度的数学表达式。一、用矢量法表示点的速度和加速度????如动点矢量形式的运动方程为r=r(t) ，则动点的速度定义为 （5-5） ????即动点的速度等于动点的矢径r对时间的一阶导数。速度是矢量，方向沿r矢端曲线的切线，指向动点前进的方向，如图5-4所示；大小为|v|,它表明点运动的快慢，其量纲为LT-1，在国际单位制中，速度的单位为m/s。动点的加速度定义为 (5-6) ????即动点的加速度等于该点的速度对时间的一阶导数，或等于矢径对时间的二阶导数。????加速度也是矢量，其量纲为LT-2，在国际单位制中，加速度的单位为m/s2。有时为了方便，在字母上方加˙表示该量对时间的一阶导数，加¨表示该量对时间的二阶导数。因此式（5-5）和式（5-6）亦可写为 和 。 二、用直角坐标法表示点的速度和加速度????因 ????将上式对时间求一阶导数，并注意到i 、j 、k 为大小、方向都不变的常矢量，则 (5-7) ????设动点M的速度矢v在直角坐标轴上的投影为vx、vy、vz，则 (5-8) ????比较式（5-7）和式（5-8），得到 (5-9) ????即 速度在各坐标轴上的投影等于动点的各对应坐标对时间的一阶导数。求得vx、vy、vz后，速度v的大小和方向就可由它的三个投影完全确定。 ????同样，设 (5-10)????可得 (5-11) ????即 加速度在各坐标轴上的投影等于动点的各速度的投影对时间的一阶导数，或各对应坐标对时间的二阶导数。加速度a的大小和方向亦可由它的三个投影完全确定。 三、用自然法表示点的速度和加速度1. 自然轴系????为了用自然法表示点的速度和加速度，需建立和点的轨迹曲线形状有关的自然轴系。请看动画 2. 点的速度????将矢径r表示为弧坐标的函数，即 (5-12) ????由速度的定义，得???? 式中 (5-13) ????由图5-6可知，此极限的模等于1，方向沿点M处轨迹切线且指向s的正向，因此，它与τ相同。于是，可得用自然法表示的速度公式 (5-14)式中 (5-15) ????v是一个代数量，它是速度v在切线上的投影。速度的代数值等于弧坐标对时间的一阶导数。v为正，v的方向和τ一致；v为负，v的方向和τ 相反。 图5-6 3. 点的加速度????将式（5-14）对时间求导，得 (5-16) ????式（5-16）表明，加速度a可分为两个分量。第一个分量是反映速度大小变化情况的加速度，记为 ；第二个分量是反映速度方向变化的加速度，记为 。下面分别求它们的大小和方向。(1)反映速度大小变化的切向加速度 ????因为 (5-17)????方向沿轨迹切线，因