第一章第二节-青海师范大学计算机学院.ppt

1-2-* 青海师范大学精品课程—离散数学 1.2 映射的有关概念 1.1 集合的有关概念 第一章 集合、映射与运算 1.3 运算的定义及性质 1.4 集合的运算 1.5 集合的划分与覆盖 1.6 集合的对等 1.2 映射的有关概念 1.2.1 映射的定义 1.2.2 映射的性质 1.2.3 逆映射 1.2.4 复合映射 1.2.3 逆映射 1.2.4 复合映射 1.2.1 映射的定义 定义1-6 映射： 任意给定两个集合A和B，若存在对应法则f，使得对于任意x∈A,都存在唯一的y∈B与它对应,则称f是集合A到B的一个映射，或称其为A到B的一个函数，记为f:A→B。 自变量与定义域：x的取值范围 应变量与值域：y的取值范围 1.2.1 映射的定义 几个例子： 集合A的特征函数： 天花板函数： 地板函数： 取整函数： 1.2.1 映射的定义 A到B的所有映射组成的集合： BA={f|f:A→B}，读作“B上A” 例1 若A={x1,x2,x3},B={y1,y2},求BA 定理1-6 对于集合A和B，若|A|=m,|B|=n,则|BA|=nm. 1.2.2 映射的性质 1.单射 定义1-8 单射:假设f:A→B，如果对任意 x1,x2 ∈A，由f(x1)=f(x2)可推出x1=x2,则称f是A到B的单射。 例1-6 设f(x)=2x,f是N到N的单射 1.2.2 映射的性质 2.满射 定义1-9 满射: 假设f:A→B，如果对任意y∈B,均存在x∈A，使得y=f(x),则称f是A到B的满射。 例1-7 设f(x)=|x|,f是Z到N的满射 1.2.2 映射的性质 3.双射 定义1-10 双射: 假设f:A→B，若f既是单射又是满射,则称f是A到B的双射，或称f是A到B的一一对应。 例1-9 设f(x)=tan(x-1/2)?,f是(0,1)到R的一一映射 1.2.2 映射的性质 定义1-11 置换: 若A是有限集合，通常把A到A的双射称为A上的置换。 例1-10 写出A={1,2,3}上的所有置换。 置换几种表示方法：映射，排列，循环 1.2.3 逆映射 定义1-12 逆映射: 设f:A→B，若将对应关系f的方向逆转后,可得到一个集合B到集合A的映射，则该映射称为f的逆映射或逆(反)函数,记为f--1. 定理1-7 设f:A→B，则f的逆映射存在的充要条件是f是双射。 双射f:A→B的逆映射f--1:B→A 也是双射且(f-1)-1=f。 1.2.4 复合映射 定理1-8 设f:A→B,g:B→C,对于任意x∈A,令 h(x)=g(f(x)),则h是集合A到集合C的映射。 定义1-13 复合映射: 设f:A→B,g:B→C,对于任意x∈A,h(x)=g(f(x)),则h为f和g的复合映射或复合函数，记为f·g。 由复合函数的定义知,f·g(x)= g(f(x)). 1.2.4 复合映射 注意 (1)复合映射又称为复合函数，要保证复合映射f·g有意义，必须f(A) dom(g); (2)一般地，即使复合函数f·g和g·f均有意义，也不能保证f·g=g·f成立。 1.2.4 复合映射 定理1-9 若f:A→B是双射，则有f·f-1=IA, f-1·f=IB；特别地，若f:A→A是双射，则f·f-1=f-1·f=IA. 恒等映射: 设A是集合，令f:A→A,f(x)=x,称f为集合A上的恒等映射，记为IA。 1.2.4 复合映射 定理1-10 设f:A→B，g:B→C. (1)若f和g是单射,则f·g是单射； (2)若f和g是满射,则f·g是满射； (3)若f和g是双射,则f·g是双射且(f·g)-1=g-1·f-1. 1.2.4 复合映射 定理1-11 设 f:A→B，g:B→C. (1) 若f·g是单射, 则f是单射, 但g不一定； (2) 若f·g是满射, 则g是满射, 而f不一定. 定理1-12 设 f:A→B, g:B→C, h:C→D, (f·g)·h=f·(g·h). 注意 多个函数求复合时可以不加括号，即 f·g·h=(f·g)·h=f·(g·h). 映射的定义 映射的性质 逆映射 复合映射 作业 P13 本节小结