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第一章 基本概念 练习题 一、填空： 1、若A中有个m元素,B中有个n元素,则A×B中有 个元素. 2、设,.那么 . 3、的映射叫做的一个 . 4、 若的代数运算，则称是的 ，也称对是封闭的. 5、设是A的代数运算.若对任意，有，则称适合 . 6、到的映射叫做的一个 . 7、建立实数集到正实数集的映射，，的运算为数的加法，的运算为数的乘法，该映射 （是或不是）到正实数集的一个同态映射． 8、建立正实数集到实数集的映射，，的运算为数的乘法，的运算为数的加法，该映射________（是或不是）到的一个同态映射． 9、若存在映射是到的一个 时，则对于，来说，称与同态． 10、集合上满足反身性、对称性和 的一个关系叫做等价关系． 二、判断题 1、A={所有不等于零的实数}，是普通除法,则这个代数运算不适合结合律．( ) 2、A={所有实数}，定义代数运算：，则这个代数运算不适合结合律．( ) 3、设“”是整的减法，则“”在中不满足结合律． ( ) 4、设“”规定如下：，则该代数运算不满足结合律． ( ) 5、设“”规定如下：，则该代数运算不满足结合律． ( ) 6、一个有限集与它的真子集之间不可能有一一映射。 ( ) 7、当与是无限集时，它们之间可能存在一一映射。 ( ) 8、设，分别是集合的代数运算，是一个映射。若，有 ，则称是到的一个同构映射。 ( ) 9、实数域上全体阶可逆方阵组成的集合为，建立映射：。可知该映射是关于矩阵乘法和数的乘法的到的同态映射，但非满射。 ( ) 10、设对于代数运算，来说，与同态，若适合结合律，则未必也适合结合律（ ） 11、 设对于代数运算，来说，与同态，若适合交换律，则也适合交换律（ ） 12、A={所有实数}，A的元素间的关系不是等价关系 ( ) 13、集合的一个分类决定的一个等价关系，但的一个等价关系未必决定的一个分类（ ） 14、设是集合的一个等价关系，则元素所在的等价类为（ ） 三、选择题 1、{所有整数},令:，,当是偶数;,当是奇数.则为 ( ) (A) 单变换 (B) 满变换 (C) 一一变换 (D) 不是变换 2、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：：，x∈R，则是从A到B的（ ） (A)满射而非单射 (B)单射而非满射 (C)一一映射 (D)既非单射也非满射 3、设A=R（实数集）， B=R+（正实数集）,:，a∈A，则是从A到B的( )。 (A)满射而非单射 (B)单射而非满射 (C)一一映射 (D)既非单射也非满射 4、下列是代数运算（即二元运算）的是（ ） (A)在整数集上，； (B)在有理数集上，； (C)在正实数集上，； (D)在集合上，。 5、设{所有实数},的代数运算是普通乘法,则以下映射做成到的子集的同态满射的是 ( ) (A) (B) (C) (D) (E) 解答题 1、设A是数域K上n阶矩阵全体构成的集合。证明矩阵的相似是A上的一个等价关系。 2、 设～是整数集Z上的模7同余关系，试证明～是Z上的等价关系，并求所有等价类。 3、（1）设，其代数运算为矩阵乘法，为实数集，其代数运算为数的加法，证明 。 （2）设，其代数运算为数的乘法，，其代数运算为数的乘法，证明。 4、设是集合的一个等价关系，，证明：当且仅当。