解决平面向量问题的三种途径.doc

解决平面向量几何表示例（2003年卷）是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足则的轨迹一定通过△的 A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 分析：由于表示向量上的单位向量，表示向量上的单位向量，所以表示单位向量与单位向量的和，由向量加法的几何意义可知表示以单位向量为邻边的菱形对角线，所以表示向量（点在角的平分线上，其位置由确定）点的轨迹为角的平分线，故选（B）例（课本复习题B组第6题）已知向量，求证： 是正三角形证： 如图，以为邻边作平行四边形，则由题意得，故于是，即是正三角形，于是 从而（以下同思路一）同理即中任意两个向量的夹角为故是正三角形例△中，，，，已知,求证：△为正三角形证：如图，取边上的中线，由平行四边形性质得，又由条件得 ∴ ∴ ∴ 同理， 故△是正三角形平面向量平面向量以下是平面向量几个结论： ①在平行四边形中， 若，则，即菱形模型若，则，即矩形模型②在中，若，是的外心；一定过的中点，通过的重心；若，则是的重心； 若，则是的垂心；向量必通过的内心；若，则是的内心；． 2、符号表示：体现向量自身符号系统的优越性 例（2004年湖北卷） 在Rt△ABC中，已知BC=a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问的夹角取何值时的值最大？并求出这个最大值 例2、证： 得 同理即中任意两个向量的夹角为故是正三角形证： 故是正三角形证：∵ ∴。又∵ ∴， ∴， 即 同理故△是正三角形证：∵，，，∴由正弦定理得又都是△的内角， 故△是正三角形3、坐标表示：与解析几何、三角、函数等知识结合由于向量作为一种有向线段本身就是直线上的一段，且向量的坐标可用其起点、终点的坐标来表示，因而使向量与解析几何保持着一种天然的联系例证四：设为坐标原点，建立直角坐标系。设 则 故 由题意得 而的重心G的坐标为即重心G为原点O又，故O为的外心因为的重心与外心重合，故是正三角形例证以为原点，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系设点的坐标为点的坐标为 ∵ 故△是正三角形例解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系 1 O P