《解三角形》复习学案.docVIP

期末复习 - ----《解三角形》 一、 【知识梳理】 1．直角三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC中，C＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a。 （1）三边之间的关系：a2＋b2＝c2。（勾股定理） （2）锐角之间的关系：A＋B＝90°； （3）边角之间的关系：（锐角三角函数定义） sinA＝cosB＝，cosA＝sinB＝，tanA＝。 2．斜三角形中各元素间的关系： 如图，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。 （1）三角形内角和：A＋B＋C＝π。 （2）正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等 。（R为外接圆半径） （3）余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。a2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC。 3．三角形的面积公式： （1）S＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）； （2）S＝absinC＝bcsinA＝acsinB； （4）S＝2R2sinAsinBsinC。（R为外接圆半径） 4．解三角形：由三角形的六个元素（即三条边和三个内角）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其他未知元素的问题叫做解三角形．这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线以及内切圆半径、外接圆半径、面积等等．解三角形的问题一般可分为下面两种情形：若给出的三角形是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形是斜三角形，则称为解斜三角形 解斜三角形的主要依据是： 设△ABC的三边为a、b、c，对应的三个角为A、B、C。 （1）角与角关系：A+B+C = π； （2）边与边关系：a + b c，b + c a，c + a b，a－b c，b－c a，c－a b； （3）边与角关系： 正弦定理 （R为外接圆半径）； 余弦定理 c2 = a2+b2－2bccosC，b2 = a2+c2－2accosB，a2 = b2+c2－2bccosA； 它们的变形形式有：a = 2R sinA，，。 5．三角形中的三角变换 三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点因为在△ABCA+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC；cos(A+B)=－cosC；tan(A+B)=－tanC。； (2)三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理。 (3)在△ABC中，熟记并会证明：∠A，∠B，∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°；△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠C成等差数列且a，b，c成等比数列。 [典型例题分析] 题型一 解三角形 例题1 在△ABC中，已知a=,b=,B=45°,求A、C和c. 变式训练1在ABC中，已知，，，求b及A； 题型二 三角形面积求解 例题2 在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且=-. 求角B的大小；（2）若b=，a+c=4，求△ABC的面积. 变式训练2在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，且4sin2-cos2C=. 求角C的大小；（2）求△ABC的面积. 题型三 判断三角形的形状 例题3 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状. 变式训练3.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状. 题型4：三角形中求值问题 例4．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。 变式训练4在锐角中，则的值等于 ， 的取值范围为 的值。 变式训练5在△ABC中，已知A、B、C成等差数列，求的值。 题型6：正余弦定理的实际应用 例题6如图，海中有一小岛，周围3.8海里内有暗礁。一军舰从A地出发由西向东航行，望见小岛B在北偏东75°，航行8海里到达C处，望见小岛B在北端东60°。若此舰不改变舰行的方向继续前进，问此舰有没有角礁的危险？ ．在中，若，则的值为（　　） A．　　 　　B． 　　　　 C．　　　 D． 2．在中，若，则这个三角形中角的值是（　　） A．或　　　B．或　　　C．或　　　D．或 3．在中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（　　） A．，，　　　　B．，，　 C．，，　　　　 　D．，，　 4．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程的根，则第三边长是（　　）A．　　B．　 C． 　D． ．在中，如果，那么角等于（