2014《成才之路》高二数学(人教A版)选修2-1课件：3-1-3 空间向量的数量积运算.pptVIP

成才之路·数学 第三章 空间向量与立体几何 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1 * 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 人教A版 · 选修2-1 课前自主预习 课堂典例讲练 方法规律总结 课后强化作业 课堂巩固训练 课程目标解读 课前自主预习 重点难点展示 学习要点点拨 课堂典例讲练 第三章 空间向量与立体几何 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1 成才之路 · 高中新课程 · 学习指导 · 人教A版 · 数学 · 选修2-1 第三章 空间向量与立体几何第三章 3．　空间向量及其运算第三章 第3课时　空间向量的数量积运算 掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律． 1．已知两个非零向量a、b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则角叫做向量a与b的夹角，记作． 通常规定0°≤〈a，b〉≤180°，且〈a，b〉＝〈b，a〉 如果〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作ab. ∠AOB 〈a，b〉 90° 2．空间两个非零向量a、b，a·b＝叫做向量a、b的数量积(或内积)． 同平面向量一样，空间两个向量的数量积是一个实数，空间两个向量的数量积也具有如下性质： (1)a⊥b； |a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0 (2)|a|2＝； 空间两个向量的数量积同样满足如下运算律： (1)(λa)·b＝； (2)a·b＝；(交换律) (3)(a＋b)·c＝ (分配律)． a·a λ(a·b) b·a a·c＋b·c 3．三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的垂直，那么它也和这条斜线垂直． 三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和垂直． 即与斜线垂直与射影垂直． 一条斜线的射影 这条斜线在平面内的射影 重点：理解掌握两个向量的夹角，两个向量的数量积的概念，理解两个向量的数量积的计算方法、运算律及应用． 难点：两个向量数量积的几何意义以及把立体几何问题转化为向量计算问题． 1．由于空间任意两个向量都可转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示及向量的模的概念和表示等，都与平面向量相同． 2．要准确理解两向量夹角的概念，它和两直线夹角是不同的，它与向量的方向有关，其取值范围是[0，π]． 记〈a，b〉＝θ，a、b都是非零向量． ①a∥b时，θ＝0或π，θ＝0时，a与b同向； θ＝π时，a与b反向． a⊥b?θ＝a·b＝0. θ为锐角时，a·b0，但a·b0时，θ可能为0；θ为钝角时，a·b0，但a·b0时，θ可能为π. |a·b|≤|a|·|b|，特别地，当θ＝0时，a·b＝|a|·|b|，当θ＝π时，a·b＝－|a|·|b|. ⑤对于实数a、b、c，若ab＝ac，a≠0，则b＝c；对于向量a、b、c，若a·b＝a·c，a≠0，却推不出b＝c，只能得出a(b－c)． a·b＝0a＝0或b＝0，a＝0时，一定有a·b＝0. 三个不为零的三个实数a、b、c，有(ab)c＝a(bc)成立，但对于三个向量a、b、c，(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b是一个实数，(a·b)c是与c共线的向量，而a(b·c)是与a共线的向量，a与c却不一定共线． 与平面上两个向量的数量积一样，空间两个向量的数量积也具有如下性质． 1°ab?a·b＝0.用于判断两向量是否垂直． 2°|a|2＝a·a用于求向量的模． 3°|a·b|≤|a||b|用于判断或证明不等式． 命题方向 向量的数量积的概念与运算[例1]　如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点，计算(1)·；(2)·；(3)·；(4)·. 思路方法技巧 [分析]　求向量的数量积，关键是把所求向量用已知长度和夹角的向量线性表示，然后据定义进行计算，特别注意a与b的夹角是其方向的夹角．如〈，〉＝120°，易错写成〈，〉＝60°. [解析]　(1)·＝·＝||·||cos〈，〉＝×1×1×cos60°＝. (2)·＝||·||cos〈，〉 ＝×1×1×cos0°＝. (3)·＝·＝·cos〈，〉＝×1×1×cos120°＝－. (4)·＝(＋)·(＋) ＝[·(－)＋·(－)＋·＋·] ＝[－·－·＋(－)·＋·] ＝[－－＋－＋]＝－. 向量a、b之间的夹角为30°，且|a|＝3，|b|＝4，则a·b＝________，a2＝________，b2＝________，(a＋2b)·(a－b)＝_____