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2010年北京市中学生数学竞赛 初二年级试题及参考解答 2010年5月16日8:30～10:30. 一、选择题（满分25分，每小题只有一个正确答案，答对得5分，将答案写在下面相应的空格中） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 A C D B D 1. 设为实数，，则的值是 (A)2. (B)3. (C)4. (D)5. 答：选（A）. 解： 令=，则 = = = ，即 ， 由于，所以 =2. 2. 如图，直线//. 其中 则最大可能的整数值是 (A)107. (B)108. (C)109. (D)110. 答：（C）. 解: 因为 是整数,. 则最大的整数 值是 3. 设p是质数，则满足的整数对（a，b）共有 （A）3对． （B）4对． （C）5对． （D）6对． 答：选（D）． 解：由于a+b与a- b具有相同的奇偶性，所以p=2.整数对（a，b）为（1，1），（-1，1），（1，-1），（0，1），（1，0），（-1，0），（0，-1）共6对. 4. 的三边长,分别表示、CA、AB边上的高. 则的值是 （A）. （B）. （C）. （D）. 答：选(B). 解:设△ABC的面积为S，则;, 所以，= ==. 选（B）. 5. 如图，正方形ABCD被直线OE分成 面积相等的两部分.已知线段OD，AD的长 都是正整数.，则满足上述条件的 的正方形ABCD面积的最小值是 （A）324. （B）331. （C）354. （D）361. 答：（D） 解：因为正方形ABCD被直线OE分成面积 相等的两部分，所以直线OE通过正方形的中心P. 令OD=n, AD=m. 直线OE的斜率为 直线OE的方程为 所以GD= 又GD=BE， 所以 当时，. 所以正方形ABCD面积的最小值是192=361. 二、填空题（满分35分，每小题7分，将答案写在下面相应的空格中） 题 号 1 2 3 4 5 答 案 1 -1 32.64 1. 如图, 则四边形ABDE与面积的比值是 . 答: 1. 解: 因为 所以(边,边,边) 因此, 即 2. 已知:, 则k = . 答: 解：注意到 由 得 , 所以 所以 3. 如图，在四边形ABCD中， ∠BAD+∠ADC＝270°.已知E为AD的 中点，F为BC的中点, EF=4厘米, 阴影 部分分别是以AB，CD为直径的半圆. 则这两个半圆面积的和是 平方厘米 （圆周率为）. 答: 解：延长BA，CD相交于M，由于∠BAD+∠ADC＝270°， 所以 因此 连BD，并取BD的中点P，再连PE， PF.由三角形的中位线定理： , 所以 在直角三角形EPF中应用勾股定理： 即 所以，两个阴影半圆面积的和= 4. 计算： = . 答：. 解：考虑到分母两数的和都一定，试利用添分母分拆法解题； 5. 在边长为10的正方形ABCD中, 内接有6个 大小相同的正方形, P,Q,M,N是落在大正方形边上的 小正方形的顶点, 如右图所示, 则这六个小正方形的 面积是 . 答: 解1:过每个小正方形的顶点,依次作各边的平 行线,如图构成 “弦图”，其中的小直角三角形场 边为a, 短边为b.则可得： 解得 所以，一个小正方形面积为 6个小正方形面积为. 解2：如右图,直角三角形NHQ与QBP相似. ,所以,易知 , 因此 . 在直角三角形NHQ中应用勾股定理, 得 , 所以 三、（满分10分）凸五边形ABCDE中, AB=BC=CD=DE=EA. 求证: 证明1: 因为 所以 过B作BP//AE,交DE于P. 结合AB=AE, 知 所以 但由BC=CD,得 所以 因此BP//CD. 又BP//AE,所以CD//AE. 又CD=AE, 所以ACDE是平行四边形.因此AC=DE, 在△ABC中,因为AB=BC=AC,所以△ABC 是等边三角形, 因此 证明2: 将△ABE 以