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基于最小二乘拟合法的人口增长模型 摘要： 针对题目所提问题，本文结合题目所给数据，采取最小二乘拟合法，利用1982年到1998年的出生率和死亡率，对1999年到2008年的出生率和死亡率进行预测，并得出此时间段内的人口自然增长率，进而得出1999年到2008年的人口总数，并和实际人口总数进行对比。 问题背景及重述 1.1 问题的背景 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。我国自1973年全面推行计划生育以来，生育率迅速下降，取得了举世瞩目的成就，但全面建设小康社会仍面临着人口的形势和严峻挑战。随着我国经济的发展、国家人口政策的实施，未来我国人口高峰期到底有多少人口，专家学者们的预测结果不一。因此，根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。 1.2 问题的重述 下表列出了中国1982～1998年的人口统计数据，去1982年为起始年（t=0），1982年的人口101654万人，人口自然增长率为14‰，以36亿作为我国人口的容纳量，试建立一个较好的人口数学模型并给出相应的算法和程序，并与实际人口进行比较。 时间 1982 1983 1984 1985 1986 1987 人口（万人） 101654 103008 104357 105851 107507 109300 时间 1988 1989 1990 1991 1992 1993 人口（万人） 111026 112704 114333 115823 117171 118517 时间 1994 1995 1996 1997 1998 人口（万人） 119850 121121 122389 123626 124810 二、问题分析 三、模型假设与符号说明 3.1、模型假设 1．在未来50年人口生存的社会环境相对稳定（即没有战争及毁灭性灾难）。 2.国际人口迁入与迁出量相等。 3.在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。 4.题目所给抽样数据是随机的，真实地反映了整体实际情况。 3.2符号说明 t：1982年t=0，往后年份一次累加 Lt：第t年的人口出生率 （t=0,1,2,3……） Dt：第t年的人口死亡率 （t=0,1,2,3……） Nt：第t年的人口自然增长率 （t=0,1,2,3……） Qt：第t年的人口数量 （t=0,1,2,3……） ΦL(t):各年出生率的拟合函数 ΦD(t)：各年死亡率的拟合函数 ωi:权系数 （i=1,2，……，n） 四、问题分析 问题要求从中国的实际情况和人口增长的特点出发，参考相关数据资料，建立数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测。为此，我查阅了许多资料，搜到了1982年到2008年的人口数量及出生率、死亡率和人口自然增长率。利用最小二乘拟合法根据1982年到1998年的数据，预测出1999年到2008年的数据，并与实际数据进行对比。 五、建立模型求解 设{Φ0（x），Φ1（x），Φ2（x），……，Φm（x）}是一个线性无关的函数系，则称线性组合Φ（x）=∑akΦk（x）为广义多项式。 设由给定的一组数据（xi，yi）和一组正数ωi（i=1,2，……，n），求一个广义多项式Φ（x）使得目标函数 n 2 S=∑ωi[Φ（xi）- yi] k=0 达到最小，则称函数Φ（x）为数据（xi，yi）（i=1,2，……，n）关于权系数ωi（i=1,2，……，n）的最小二乘拟合函数。 利用最小二乘拟合法将出生率、死亡率数据进行拟合，所得拟合图形如下： 所得的数据如下： 年份 1999 2000 2001 2002 出生率‰ 15.61 15.41 15.39 15.60 死亡率‰ 6.53 6.55 6.58 6.63 人口自然增长率‰ 9.08 8.86 8.81 8.97 年份 2003 2004 2005 2006 出生率‰ 16.06 16.80 17.86 19.26 死亡率‰ 6.69 6.78 6.88 7.01 人口自然增长率‰ 9.37 10.02 10.98 12.25 年份 2007 2008 出生率‰ 21.02 23．20 死亡率‰ 7.16 7.33 人口自然增长率‰ 13.86 15.87 1999～2008年人口数量： 年份 1999 2000 2001 2002 2003 2004 人口数量（万人） 125943 127059 128178 129328 130540 131848 年份 2005 2006 2007 2008 人口数量（万人） 133295 134928 136798 138969 1999～2008年预测与实际