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材料力学例题及解题指导 （第二章至第六章） 第二章 拉伸、压缩与剪切 例2-1 试画出图a直杆的轴力图 解：此直杆在A、B、C、D点承受轴向外力。先求AB段轴力。在段内任一截面1-1处将杆件截开，考察左段（图2-5b）。在截面上设出正轴力N1。由此段的平衡方程(X＝0得 N1－6＝0， N1＝＋6kN N1得正号说明原先假设拉力是正确的，同时也就表明轴力是正的。AB段内任一截面的轴力都等于+6kN。再求BC段轴力，在BC段任一截面2-2处将杆件截开，仍考察左段（图2-5c），在截面上仍设正的轴力N 2，由(X＝0得 －6＋18＋N2＝0 N2＝－12kN N2得负号说明原先假设拉力是不对的（应为压力），同时又表明轴力N2是负的。BC段内任一截面的轴力都等于－12kN。同理得CD段内任一截面的轴力都是－4kN。 画内力图，以水平轴x表示杆的截面位置，以垂直x的坐标轴表示截面的轴力，按选定的比例尺画出轴力图，如图2-5（d）所示。由此图可知数值最大的轴力发生在BC段内。 解题指导：利用截面法求轴力时,在切开的截面上总是设出正轴力N ，然后由(X＝0求出轴力N ，如N 得正说明是正轴力（拉力），如得负则说明是负轴力（压力）。 例2-2 试求自由悬挂的直杆（图2-6a）由纵向均匀分布荷载q（力／长度）引起的应力和纵向变形。设杆长l、截面积A及弹性模量E均已知。 解：在杆上距下端为x处取一任意横截面m-m，则该截面轴力为N(x)＝qx，根据此式可作出轴力图如图2-6b所示。m-m截面的应力为(（x）＝N(x)/A＝qx/A。显然，悬挂端有最大轴力Nmax＝ql及最大正应力 。 求杆纵向变形，由于各横截面上轴力不等，不能直接应用公式(2-4)，而应从长为dx的微段出发。在x处取微段dx，其纵向伸长可写为 杆件的总伸长 研究上端固定杆件由于自重引起的伸长时，杆件自身重量就是一种均匀纵向分布力，此时单位杆长的分布力q＝A(1((，此处(是材料单位体积的重量即容重。将q代入上式得到 此处G＝Al(是整个杆的重量。上式表明等直杆自重引起的总伸长等于全部重量集中于下端时伸长的一半。 解题指导：对于轴力为变数的杆，利用虎克定律计算杆件轴向变形时，应分段计算变形，然后代数相加得全杆变形，当轴力是连续函数时则需利用积分求杆变形。 例2-3 图2-7所示两根圆截面杆材料相同，试计算两杆的应变能，并比较其大小。 解：a杆： b杆： 两杆应变能之比： 解题指导：从本例可看出，在受力相同的情况下，刚度小的杆件应变能大。 例2-4平行杆系1、2、3悬吊着刚性横梁AB如图2-8a所示。在横梁上作用着荷载G。如杆1、2、3的截面积、长度、弹性模量均相同，分别为A、l、E。试求三根杆的轴力N1、N2、N3。- 解：设在荷载G作用下，横梁移动到A(B(位置（图2-8b），则杆1的缩短量为(l1，而杆2、3的伸长量为(l2、(l3。取横梁AB为分离体，如图2-8c，其上除荷载G外，还有轴力N1、N2、N3以及X。由于假设1杆缩短，2、3杆伸长，故应将N1设为压力，而N2、N3设为拉力。 (1) 平衡方程 （a） 三个平衡方程中包含四个未知力，故为一次超静定问题。 (2) 变形几何方程 由变形关系图2-8b可看出B1B(＝2C1C(，即 ， 或 (b) (3) 物理方程 (c) ? 将(c)式代入(b)式，然后与(a)式联立求解，可得 解题指导：在解超静定问题中：假定各杆的轴力是拉力、还是压力，要以变形关系图中各杆是伸长还是缩短为依据，两者之间必须一致。经计算三杆的轴力均为正，说明正如变形关系图中所设，杆2、3伸长，而杆1缩短。 ? 例题及解题指导 例2-5 图3-6所示螺钉承受轴向拉力F，已知许可切应力[(]和拉伸许可应力[(]之间的关系为：[(]=0.6[(]，许可挤压应力[(bs]和拉伸许可应力[(]之间的关系为：[(bs]=2[(]。试建立D，d，t三者间的合理比值。 解：(1) 螺钉的拉伸强度 (2) 螺帽的挤压强度 (3) 螺帽的剪切强度 得：D : d : t = 1.225: 1 : 0.415 解题指导：注意此题的剪切面、挤压面。 例2-6 一托板用8只铆钉铆于立柱上，如图3-7a，铆钉间距为a，F＝80kN，距离l＝3a。已知铆钉直径d＝20mm，许可切应力[(]＝130MPa，试校核铆钉剪切强度。 解：铆钉群的形心C位于立柱的y轴上。将力F向C点平移得到一个过C点的y向力F和一个顺时针转动的力偶Fl。通过C的力F在每个铆钉受剪面上引起的剪力相等，其值为F/8，图3-7(c)所示，图中只示出1、2、8