结构优化设计第2章要点解析.ppt

2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 * no3 * No4 2.2 优化算法中的基本概念 1 方向导数 2 梯度定义和几何意义 3 无约束条件下函数f(x)极值（Hessian矩阵） 4 拉格朗奇乘子法（Lagrange） 5 Kuhn-Tucker 驻点条件 6 凸集、凸函数和凸规划 2.2 优化算法中的基本概念 1 方向导数 方向导数讨论函数f(x)在某一点沿某一方向的变化率。 设在空间中一点x（0）对应的函数值为f(x（0）)，设通过点x（0）有某单位向量 其中 ， ，... 为单位向量在各坐标轴上的分量，亦即方向余弦。 如果设计变量从点x（0）沿着方向 移动距离 而获得一个新的设计点x 则对应该点的函数值为f（x）或f（x（0）+ ），写出商式 2.2 优化算法中的基本概念 定义：当点X沿着 趋于x（0）时（即 时）商式有极限，则称此极限为函数f（x）在点x（0）沿方向的方向导数， 记为 为f（x）在x（0）点沿s方向的方向导数。 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 设函数f（x）在设计区域内具有一阶连续偏导数，在x（0）点处对 f（x）= f（x（0）+ ），进行泰勒级数展开： 2.2 优化算法中的基本概念 根据点x（0）的一阶偏导数可以定义一个向量： 2.2 优化算法中的基本概念 则： 内积（梯度在方向s上的投影） 2 梯度定义和几何意义 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度： 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 无约束条件下函数f(x)存在极值点的必要条件和充分条件。 (a) 首先看一下函数f(x)在x（0）点处的Taylor展开 2.2 优化算法中的基本概念 3 无约束条件下函数f(x)极值（Hessian矩阵） 设计变量从点x（0）沿着方向 移动距离 而获得一个新的设计点x 在 x（0）点处泰勒展开： 如取到二次项 2.2 优化算法中的基本概念 如用向量矩阵形式表示，则上式可写为 2.2 优化算法中的基本概念 可简写为 2.2 优化算法中的基本概念 式中 2.2 优化算法中的基本概念 是函数f(x)在点x（0）的一阶偏导数矩阵，称为函数在该点的梯度。 是函数在f(x)在点x（0）的二阶偏导数组成的n*n阶对称矩阵，或称为f(x（0）)的海森(Hessian)矩阵，记作 。 2.2 优化算法中的基本概念 (b) 极值点存在的必要条件 n元函数在定义域内极值点X*存在的必要条件 即对每一个变量的一阶偏导数值必须为零， 或者说梯度为零(n维零向量)。 2.2 优化算法中的基本概念 满足 的点X*称为驻点，至于驻点是否为极值点，尚须通过二阶偏导数矩阵来判断。 2.2 优化算法中的基本概念 (c) 极值点存在的充分条件 如何判断多元函数的一个驻点是否为极值点呢? 从多元函数f(x)在驻点X*附近的泰勒公式二次式来看： 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 4 拉格朗奇乘子法（Lagrange） 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 5 Kuhn-Tucker 驻点条件 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 6 凸集、凸函数和凸规划 2.2 优化算法中的基本概念 2.2 优化算法中的基本概念 2.1 优化问题的数学表述 2.2 优化算法中的基本概念 2.3工程优化问题的收敛条件 第2章 优化设计的数学表述及其基本概念 优化问题的数学表述 2.1 优化问题的数学表述 飞行器优化设计计问题，要求在满足规定的战术和技术条件下，寻找一组参数，使其设计指标达到最佳，得到最优设计方案。 2.1.1 优化设计的基本要素 2.1 优化问题的数学表述 设计变量 约束条件 目标函数 1.设计变量 1）设计变量类型 2.1 优化问题的数学表述 在一个结构设计方案中： 全部参数 设计参数（给定的参数，设计变量） 性态参数 中间参数 设计参数是设计中的自变量，通常由设计者主动选择