2015年中考数学类比探究问题解析.docVIP

2015中考数学类比探究问题解析 1.(2012年河北省中考第26题)如图1，图2，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，． 探究 如图1，AH⊥BC于点H，则AH＝_____，AC＝______，△ABC的面积S△ABC＝________． 拓展 如图2，点D在AC上（可与点A、C重合），分别过点A、C作直线BD的垂线，垂足为E、F．设BD＝x，AE＝m，CF＝n．（当点D与点A重合时，我们认为S△ABD＝0） （1）用含x，m或n的代数式表示S△ABD及S△CBD； （2）求(m＋n)与x的函数关系式，并求(m＋n)的最大值和最小值； （3）对给定的一个x值，有时只能确定唯一的点D，指出这样的x的取值范围． 发现 请你确定一条直线，使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小（不必写出过程），并写出这个最小值． 图1 图2 ◆满分解答:探究 AH＝12，AC＝15，S△ABC＝84．拓展 （1）S△ABD＝，S△CBD＝． （2）由S△ABC＝S△ABD＋S△CBD，得．所以．由于AC边上的高，所以x的取值范围是≤x≤14．所以(m＋n)的最大值为15，最小值为12．（3）x的取值范围是x＝或13＜x≤14．发现 A、B、C三点到直线AC的距离之和最小，最小值为． 2.(2014山东临沂)问题情境：如图Z4-8，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM. 探究展示：(1)证明：AM＝AD＋MC；(2)AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓展延伸：(3)若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图Z4-9，探究展示(1)，(2)中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明． 图Z4-8 　图Z4-9 图96 ◆满分解答 证明：(1)延长AE，BC交于点N，如图96. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD∥BC，∠DAE＝∠ENC. ∵AE平分∠DAM，∴∠DAE＝∠MAE. ∴∠ENC＝∠MAE.∴MA＝MN. 在△ADE和△NCE中， 图97 ∴△ADE≌△NCE(AAS)．∴AD＝NC.∴MA＝MN＝NC＋MC＝AD＋MC. (2)AM＝DE＋BM成立. 过点A作AF⊥AE，交CB的延长线于点F，如图97. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝AD，AB∥DC. ∵AF⊥AE，∴∠FAE＝90°.∴∠FAB＝90°－∠BAE＝∠DAE. 在△ABF和△ADE中， ∴△ABF≌△ADE(ASA)．∴BF＝DE，∠F＝∠AED. ∵AB∥DC，∴∠AED＝∠BAE.∵∠FAB＝∠EAD＝∠EAM， ∴∠AED＝∠BAE＝∠BAM＋∠EAM＝∠BAM＋∠FAB＝∠FAM. ∴∠F＝∠FAM.∴AM＝FM.∴AM＝FB＋BM＝DE＋BM. (3)(1)成立；(2)不成立． ◆强化训练 1.（2014?浙江宁波，第25题）课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法： 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． （1）请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） （2）△ABC中，∠B=30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD=BD，DE=CE，设∠C=x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值； （3）如图3，△ABC中，AC=2，BC=3，∠C=2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长． 2.如图①，已知，在等腰直角△ABC中，∠BAC = 90°，点D在BC上．以AD为边作正方形ADEF，连接CF． 第3题图 (1) 问题解决 求证：CF =BD； (2) 问题变式 如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，猜想CF、BC、CD三条线段之间的关系并说明理由； (3) 问题拓展 如图③，已知，点D是等边△ABC的边BC延长线上的一点，连接AD，以AD为边