GCT线性代数矩阵解析.pptVIP

例题选讲 例1 若方阵A满足A2－3A－10I=0，证明A、A-4I均可逆，并求其逆。 例2 已知 。计算 例3 已知3阶矩阵A的逆矩阵： 试求其伴随矩阵A*的逆矩阵。 矩阵的初等变换是矩阵的一种十分重要的运 算, 它在解线性方程组、求逆阵及矩阵理论的探讨 中都可起重要的作用. 15.3 矩阵的初等变换 解： 由矩阵的定义及上述例题可知，矩阵乘法与普通数的乘法有根本的差别，应特别引起注意。 矩阵乘法也有可交换的，如 则有 特别的，当AB=BA时，则称A与B可交换。 矩阵乘法的运算规律 (1)结合律 (AB)C=A(BC) (2) ?(AB)= (?A)B=A(?B ) (3)分配律 A(B+C)=AB+AC (B+C)A=BA+CA (4)对于单位阵I，有Im Am×n= Am×n Am×n In= Am×n 证明略。 四、矩阵的转置 定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到一个新矩阵，叫做A的转置矩阵，记做A′或AT。 例如 转置矩阵的运算性质 特别地，矩阵A是对称矩阵的充要条件是AT=A； 矩阵A是反对称矩阵的充要条件是AT= -A。 五、方阵的幂 设A是n阶方阵，设k为正整数,记 A1=A，A2=AA，…， Ak+1=AkA。 叫做方阵A的幂。特别规定A0=I。 性质4 设A, B是n阶方阵，m、 k 是非负整数，则 (1) Am Ak=Am+k； (2) (Am)k=Amk； 一般地，(AB)m ≠AmBm 。 矩阵多项式： 设 则定义 这里，一般 但 例11 设矩阵： 六、方阵的行列式 定义 由n阶方阵A的元素所构成的行列式， 叫做方阵A的行列式，记作|A|或det(A) 。 运算性质 15.2 可逆矩阵 一、逆阵的定义 我们知道在数学上有很多运算是成对出现的… 那么，我们前面讨论的矩阵的乘法是否存在除法呢？ 更一般地，在初等数学中解方程ax=b，当 a≠0时，x=a-1b。 那么矩阵方程AX=b，是否也有X=A-1b呢？ 如果不存在满足(*)式的方阵,则称方阵A是不可逆的。 即逆矩阵是唯一的。 证毕 方阵的A逆阵记为A－1。 由逆阵的定义知：单位阵I是可逆的，且I的逆阵就是I本身。更一般地，对角矩阵 其逆矩阵是 二、方阵可逆的充分必要条件 定义2 设A是n阶方阵，Aij 是行列式|A|中元素aij的代数余子式，则矩阵 若n阶矩阵A的行列式不为零，即|A|≠0，则称A为非奇异(非退化)矩阵，否则称为奇异(退化)矩阵。 此外，定理不仅给出了矩阵可逆的条件，而且也告诉我们，对阶数不大的矩阵，可以通过伴随矩阵求它的逆阵。 如例1 中， 因为|A|=2≠0，所以A可逆，且 推论 设A，B是n阶方阵，且AB=I，那么，BA=I， 即A，B都可逆，且B -1=A，A-1=B。 证： 由条件A，B都是n阶方阵，且AB=I，得|A||B|=| I |=1≠0； 所以 |A|≠0，从而由定理2可知A，B都可逆。 再由条件AB=I可得， BA=(A-1A)BA=A-1(AB)A=A-1IA=I。 由定义1知：且B-1=A，A-1=B。 三、可逆阵的性质 设A，B为同阶可逆矩阵，?是非零常数，则 例3 设A，B为三阶方阵，I是三阶单位阵，且满足 ： AB+I=A2+B，又知 (**) 例4 设方阵A与B满足A－B=AB，证明A+I可逆,且求出它的逆阵. 解 由条件A－B=AB可得，A+I－B－AB=I， (A+I)－(A+I)B=I，于是 (A+I)(I－B)=I。 所以，A+I 可逆，且其逆阵 (A+I)－1 =I－B。 注：矩阵的左乘和右乘一定要注意！ * * 第十五章 矩 阵 1、理解矩阵概念，知道零矩阵、单位阵、对角阵等特殊矩阵。 2、熟练掌握矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算以及它们的运算规律。 3、理解逆矩阵的概念及其存在的充分必要条件。掌握求逆阵的方法。 4、熟练掌握矩阵的初等变换。 本章基本要求 本章重点 矩阵的乘法、逆阵及矩阵的初等变换。 15.1 矩阵的概念及运算 知道零矩阵、单位阵、