【四川专用(理)】2014届高三数学大一轮复习讲义【Word版题库】3.2导数的应用(一).docVIP

3.2 导数的应用（一） 一、选择题 1．与直线2x－y＋4＝0平行的抛物线y＝x2的切线方程是(　　)． A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0 C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0 解析　设切点坐标为(x0，x)，则切线斜率为2x0， 由2x0＝2得x0＝1，故切线方程为y－1＝2(x－1)， 即2x－y－1＝0. 答案　D 2．函数y＝4x2＋的单调增区间为(　　)．A．(0，＋∞) B. C．(－∞，－1) D. 解析　由y＝4x2＋得y′＝8x－，令y′0，即8x－0，解得x， 函数y＝4x2＋在上递增． 答案　B ．已知f(x)的定义域为R，f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则(　　) A．f(x)在x＝1处取得极小值 B．f(x)在x＝1处取得极大值 C．f(x)是R上的增函数 D．f(x)是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数 解析：由图象易知f′(x)≥0在R上恒成立，所以f(x)在R上是增函数． 答案：C 4．已知直线y＝kx是y＝ln x的切线，则k的值为(　　)． A．e B．－e C. D．－ 解析　设(x0，ln x0)是曲线y＝ln x与直线y＝kx的切点，由y′＝知y′|x＝x0＝ 由已知条件：＝，解得x0＝e，k＝. 答案　C 5．函数f(x)＝ax3＋bx在x＝处有极值，则ab的值为(　　) A．2 B．－2 C．3 D．－3 解析 f′(x)＝3ax2＋b，由f′＝3a2＋b＝0，可得ab＝－3.故选D. D 6．对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有(　　)．A．f(0)＋f(2)2f(1) B．f(0)＋f(2)≤2f(1) C．f(0)＋f(2)≥2f(1) D．f(0)＋f(2)2f(1) 解析　不等式(x－1)f′(x)≥0等价于或可知f(x)在(－∞，1)上递减，(1，＋∞)上递增，或者f(x)为常数函数，因此f(0)＋f(2)≥2f(1)． 答案　C ．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意xR，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为(　　)． A．(－1,1) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞) 解析　设g(x)＝f(x)－2x－4，由已知g′(x)＝f′(x)－2＞0，则g(x)在(－∞，＋∞)上递增，又g(－1)＝f(－1)－2＝0，由g(x)＝f(x)－2x－4＞0，知x＞－1. 答案　B 二、填空题 ．设函数f(x)＝x(ex＋1)＋x2，则函数f(x)的单调增区间为________． 解析：因为f(x)＝x(ex＋1)＋x2，所以f′(x)＝ex＋1＋xex＋x＝(ex＋1)·(x＋1)． 令f′(x)0，即(ex＋1)(x＋1)0，解得x－1. 所以函数f(x)的单调增区间为(－1，＋∞)． 答案：(－1，＋∞) ．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值． 解析 f′(x)＝3x2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2，当x(－∞，0)时，f′(x)0， 当x(0,2)时，f′(x)0，当x(2，＋∞)时，f′(x)0，显然当x＝2时f(x)取极小值． 2 10．若曲线f(x)＝ax5＋ln x存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________． 解析　f′(x)＝5ax4＋，x(0，＋∞)， 由题意知5ax4＋＝0在(0，＋∞)上有解． 即a＝－在(0，＋∞)上有解． x∈(0，＋∞)，－(－∞，0)．a∈(－∞，0)． 答案　(－∞，0) ．函数f(x)＝x(a0)的单调递减区间是________． 解析　由ax－x2≥0(a0)解得0≤x≤a，即函数f(x)的定义域为[0，a]，f′(x)＝＝，由f′(x)0解得x≥，因此f(x)的单调递减区间是. 答案　 12．已知函数f(x)＝x2(x－a)． 若f(x)在(2,3)上单调则实数a的范围是________； 若f(x)在(2,3)上不单调，则实数a的范围是________． 解析　由f(x)＝x3－ax2得f′(x)＝3x2－2ax＝3x. 若f(x)在(2,3)上不单调，则有解得：3a. 答案　(－∞，3 ]， 三、解答题 已知函数f(x)＝ax2＋blnx在x＝1处有极值. (1)求a，b的值； (2)判断函数y＝f(x)的单调性并求出单调区间． (1)因为函数f(x)＝ax2＋blnx， 所以f′(x)＝2ax＋. 又函数f(x)在x＝1处有极值， 所以即解得 (2)由(1)可知f(x)＝x2－lnx，其定义域是(0，＋∞)，且f′(x)＝x－＝. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：