第三讲函数方程.doc

第三讲　函数方程f(x＋1)=x、f(－x)=f(x)、f(－x)= －f(x)、f(x＋2)=f(x)等.其中f(x)是未知函数 2.函数方程的解：能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解. 如f(x)=x－1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解 3.解函数方程:求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程 4.定理（柯西函数方程的解） 若f(x)是单调（或连续）函数且满足f(x＋y)=f(x)＋f(y) (x,y∈R)、则f(x)=xf(1). 函数方程主要有两种题型：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题。二是通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。有些方程问题可以用函数的方法解答，反之，许多函数问题也可以用方程的方法来解决，而且要常常借助函数的图象进行转化。 赛题精讲 一、求函数的解析式 1、换元法 例1、已知的解析式可取为（ ） （A） （B） （C） （D） 例2. (第32届美国中学生数学竞赛题函数f(x)在x=0处没有定义，但对所有非零实数x有f(x)+2=3x.满足方程f(x)=f(-x)的实数(?? ). (A)恰有一个(B)恰有两个(C) 有无穷多个 (D) 不存在解以换x得?② 由①，②两式消去得3f(x)=-3x，∴f(x)=-x.③ 又由f(x)=f(-x)，将③代入得，即，2-x2=0，∴x=故应选(B). 2. 设函数满足条件，求。 2、赋值法 例1、设函数定义于实数集上，且，若对于任意实数、，都有：，求。 例2、设函数定义于自然数集上，且，若对于任意自然数、，都有：，求。 研究函数的性质 1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法， 例1.设为奇函数，则（ ） 例2.已知定义域为的函数是偶函数，并且在上是增函数，若，则的解集是（ ） 例3.函数的定义域为且为奇函数，当时，则当时，的单调减区间为（ ） 例４.如果函数对任意实数，都有， 则 例５.已知函数，有下列命题：①时，只有一个实数根②时，是奇函数③的图象关于点对称④方程至多有3个实数根，则正确的命题的序号为 ２．抽象函数。由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力． 例１.给出四个函数，分别满足： ① ② ③ ④ 又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是（ ） （A）①-a ②-b ③-c ④-d （B）①-b ②-c ③-a ④-d （C）①-c ②-a ③-b ④-d （D）①-d ②-a ③-b ④-c 例２． 已知函数是定义域为R的偶函数，时，是增函数，若，，且，则的大小关系是_______。 分析：且， 又时，是增函数， 是偶函数， 故 例３． 已知函数对一切实数x都满足，并且有三个实根，则这三个实根之和是_______。 分析：由知直线是函数图象的对称轴。 例４．已知函数，－1＜x＜1f（x）f（x）（－1，1）；④ ．试判断这些结论的正确性，并说明理由． 例５．若函数是偶函数，则的图象关于直线_______对称。 分析：的图象的图象，而是偶函数，对称轴是，故的对称轴是。 （１）抽象函数的单调性 例１． 已知函数对任意实数都有，且当时， ，求在上的值域。 解：设 且， 则， 由条件当时， 又 为增函数， 令，则 又令 得 ， 故为奇函数， ， 上的值域为 例２． 已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。 解：设且 则 ， 即， 故为增函数， 又 因此不等式的解集为。 例３．已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上为减函数。 证明：对一切有。 且，令，得， 现设，则，， 而 ， 设且， 则 ， 即为减函数。 （２）抽象函数的周期性 例１．和任意，等式都成立，求证：函数是周期函数。 例２．函数定义于上，且函数不恒为零，，