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高等几何试题 一、填空题（每题3分，共27分） 1、 两个三角形面积之比是（ ）。 2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。 3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。 4、一点在一直线上的充要条件是（ ）。 5、 已知,则=（ ），=（ ）。 6、 如果四直线满足，则称线偶和 （ ）。 7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（ ）。 8、 不在二阶曲线上的两个点P，Q关于二阶曲线成共轭点的充要条件是（ ）。 9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。 二、计算题（每题8分，共56分） 1、 计算椭圆的面积（椭圆方程： ） 2、 求共点四线，，，的交比。 3、 求射影变换的不变元素。 4、 求二阶曲线经过点的切线方程。 5、 求双曲线的渐近线方程。 6、 求抛物线的主轴和顶点。 7、 求使三点，，顺次变到点，， 的仿射变换。 三、已知，，，，验证它们共线并求的值。（8分） 四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。（9分） 答案 一、 1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心 4、 5、3 2 6、调和分离 7、任何四个对应点的交比相等 8、 9、这个变换使圆点保持不变 二、 1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为 经过仿射变换 ① 其对应图形为圆。 在仿射变换①之下，，，，所以对应，其中，根据定理3.6推论2，有 所以 因此所给椭圆的面积为。 2、解：化为齐次方程： 取为基线，则有 由定理1.11的推论，得 3、解：由方程 得 所以 ， （重根） 将代入（3.4.3）得 于是得为不变点列（即轴），这条直线上的点都是不变点，因此这条直线是不变直线。 4、解：将点的坐标代入二阶曲线方程中得 所以点在二阶曲线上，故切线方程为 即 亦即 为所求切线方程。 5、解：设渐近线的方程为 根据（2.9）有 解之，得，所以渐近线方程为 和 化简，得所求为和。 6、解：因为 代入（4.11），得主轴为 即 解方程 得顶点之坐标为。 7、解：设所求仿射变换为 于是有 解此方程组，得 ，，，，， 故所求的仿射变换为 三、解：因为 且 所以共线。 设 由 得 同理可得 所以 四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为： （1） （2） 由于它们是射影对应，所以满足： （3） 从（1），（2），（3）中消去得 即 （1.3） 这里都是关于的一次齐次式，所以（1.3）式表示一条二阶曲线。由于的交点坐标和的交点坐标都满足（1.3）。所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。