高等代数教案2.2.docVIP

授课章节 §2.3 n级行列式 §2.4 n级行列式的性质 教学方法与手段 课堂讲授 课时安排 3 教学目的与要求： 1.掌握行列式的定义。 2.掌握行列式的性质。 教学重点、难点： 1．行列式的定义 2．行列式的性质 教学内容： §2.3 级行列式 二级行列式和三级行列式的定义如下： （1） （2） 由三级行列式定义可看出：三级行列式（2）是一些乘积的代数和，而每一次乘积都是由行列式中位于不同行和不同列的元素构成，而所有可能的位于不同行和不同列的元素的乘积，根据排列理论中的乘法原则可知共有3！=6个，3阶行列式应是这六个乘积的代数和，3阶行列式的6项都具有如下形式： 其中行标形成自然排列123，列标形成1，2，3的一个排列，1，2，3的排列有六种，3阶行列式的每一项与这6个排列之一对应，例如，项与排列231对应，项与排列132对应。 另外，每一项乘积都带有符号，其符号规律如下：当项中的列标所成排列为偶排列时，该项带号，因此该项前的符号可表为，当项中列标所形成的排列为奇排列时，该项带负号，因此该项前的符号也可表为。 当然，3级行列式的定义也可写为： 这里表示对所有形式如的项加起来，其中取遍所有的3级排列，仿此可给出的级排列式的定义： 定义4 称为级行列式。其中表示对所有的级排列求和。 计算 定理 在级行列式中，项的符号为 证：（按行列式的定义，确立项的符号，就要把这个元素重新排一下，使得它们的行标成自然排列，也就是要）将 （﹡）重排为 （﹡﹡） 由行列式的定义项的符号为 只须证= 设将（﹡）变为（﹡﹡）用了次对换，则行标排列与列标排列就都同时作了次对换： 因为对排列作一次对换改变排列的奇偶性，所以 与有相同的奇偶性， 与有相同的奇偶性，‥‥‥‥与有相同的奇偶性。因此 =。 以上定理表明，对于确定行列式中项的符号来说，该项的行标排列与列标排列的地位是对称的，因此为了确定每一项的符号。我们同样可以把每一项的元素按列标的自然顺序排列，于是级行列式的定义又可写为： （15） 性质1. 行列互换，行列式不变。即 （16） 由上三角行列式和性质1可知下三角行列式 性质1表明，在行列式中，行列可互换，即行与列的地位是对称的，对列的讨论可转化为对行的讨论，因之凡是对行成立的性质，对列也同样成立。下面我们所谈的行列式的性质大多是对行来说的，对于列也有相同的性质，就不重复了。 §2.4 级行列式的性质 在级行列式的定义中，每项都是个元素的乘积。而且这个元素是取自不同的行与列。因此对于某一确定的行中个元素（譬如）来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素，从而，级行列式的项可以分成组，第一组的项都含有，第二组的项都含有等等，再分别把行的元素提出来，就有 （1） 其中代表那些含有的项在提出公因式之后的代数和。至于究竟等于什么，我们暂且不管，到§2.6节再来讨论。 从以上的讨论可知，中不再含有第行的元素，也就是全与行列式中第行的元素无关。由此可得 性质2 证： 左端==右端 （上式左右两端的行列式，只有第行不同，而与第行的元无关，故两端的行列式的展开式中的相同） 推论：（在性质2中令即得）若行列式中一行为零，则行列式为零。 性质3 证：左端==右端 性质4 如果行列式中有两行相同，则行列式为零。（所谓两行相同就是说两行的对应元素都相等） 性质5 若行列式中两行成比例，那么行列式为零。 性质6 把一行的倍数加到另一行，行列式不变。 证： 设 则 性质7 对换行列式中两行的位置，行列式反号。 证明 复习思考题、作业题 复习思考题：习题二 6，7，10，11，13 作业题：习题二 8，9，12，14，17（2）（3） 下次课预习要点 行列式的计算