§3.1 中值定理课件.pptVIP

第三章 微分中值定理与导数的应用 中值定理 罗必达法则 函数的单调性 ? 凸性的判定 函数极值和最值 函数作图 导数在经济中的应用 * * 3.1.1 罗尔 ( Rolle ) 定理 1）在闭区间 上连续; 2) 在开区间 内可导; 有一点 则在 内至少 使 a b o y A B x 几何意义: 在两端点高度相同的连续光滑的曲线弧上, 若除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线, 则此曲线弧上至少有一点,在该点处的 切线是水平的. 若函数 满足： 3) §3.1 中值定理 定理3.1.1 证明: a b o y A B x 则 在 [a, b] 上取得最大值 M 和最小值 m . 1). 若 即 恒为常数, 可取(a, b)内任一点作为 2). 若 由 知, M , m 至少有一个要在 内取得. 不妨设 M 在 内点 处取得 即 所以, 证毕. 2） 称 为函数 的驻点. 例1. 不用求函数 的导数, 说明方程 有几个实根,并指出它们所在的区间. 解 同理在 上分别使用罗尔定理, 使 使 使 方程 至少有三个实根, 说明 在 上连续，(1,2)内可导 在 上应用罗尔定理 1）罗尔定理的三个条件缺一不可 方程 至多有三个实根, 方程 正好有三个实根, 分别在区间 (1,2), (2,3), (3,4) 内. 例 2. 设 为 n 次多项式， 没有实根， 试证明 最多只有一个实根 证 假设 有两个实根，设为 和 ， 不妨设 由于 在 上连续， 在 内可导，且 由罗尔定理知，至少存在一点 使 这说明 是方程 的根，与题设矛盾. 例 3. 设函数 在 上连续，在 内可导，且 证 至少存在一点 使得 证 作辅助函数 则 在 上连续，在 内可导， 且 即 在 上满足罗尔 定理的条件，从罗尔定理知， 至少存在一点 使得 即 3.1.2 拉格朗日 (Lagrange) 定理 a b o y A B x C 使 （1） 或 （2） 几何意义： 在连续、光滑的曲线弧上，除端点外处处有不垂直于 x 轴的切线，则在曲线弧上至少存在一点C，在该点处的切线与连接两端点的弦平行. 1） 在闭区间 上连续; 2) 在开区间 内可导; 至少有一点 若函数 满足： 则在 内 定理3.1.2 [分析]： 要证 即证 即证 令 只须证 只须证 在 上满足罗尔定理条件. 证明： 易见 在 上连续， 在 内可导， 且 即 根据罗尔定理知， 使 即 即 构造辅助函数 1). (1)或(2)式对于 时也成立. 拉格朗日中值公式. 2). 若令 则 ,于是拉格朗日公式可写成: (3) 3). 若令 则得有限增量公式: (4) 2). 定理结论肯定中间值 的存在,但未知其确切位置; 3). 式中的 可能不只一个, 这并不影响它在理论上的应用 说明 （1） 1). 定理中的两个条件 缺一不可. 注意 推论1 若 在(a,b)内恒等于零，则f(x)在(a,b)内必为某常数. 由拉格朗日中值定理可以得出积分学中有用的推论： 位于x1， x2之间，故有f(x1)= f(x2).由x1， x2的任意性可知f(x)在(a,b)内恒为某常数. 事实上，对于(a,b)内的任意两点 ，由拉格朗日中值定理可得 推论2 若在(a,b)内恒有　 　，则有 其中C为某常数. 由推论1可知f(x)－g(x)=C，即f(x)=g(x)+C. f(x)=g(x)+C, 事实上，由已知条件及导数运算性质可得 验证: 在闭区间 上连续, 在开区间 内可导, 满足拉格朗日中值定理的条件,