必修5：1.1.1 正弦定理2.pptVIP

第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理 * * 在Rt△ABC中,各角与其对边(角A的对边一般记为a，其余类似)的关系: 不难得到: C B A a b c 在非直角三角形ABC中有这样的关系吗? A c b a C B 所以AD=csinB=bsinC, 即 同理可得 D A c b C B 图1 过点A作AD⊥BC于D, 此时有　 若三角形是锐角三角形, 如图1, 且 可得 D 若三角形是钝角三角形,且角C是钝角如图2, 此时也有 交BC延长线于D, 过点A作AD⊥BC， C A c b B 图2 正弦定理: 即 在一个三角形中,各边和它所对角的 正弦的比相等. 思考：你能否找到其他证明正弦定理的方法？ （R为△ABC外接圆半径） 另证1: 证明： O C/ c b a C B A 作外接圆O, 过B作直径BC/,连AC/, 另证2: 证明： ∵ B A C D a b c 而 ∴ 同理 ∴ ha 剖析定理、加深理解 1、正弦定理可以解决三角形中的问题： ① 已知两角和一边，求其他角和边 ② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角，进而可求其他的边和角 剖析定理、加深理解 2、A+B+C=π 3、大角对大边，大边对大角 剖析定理、加深理解 4、一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素。已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫解三角形 剖析定理、加深理解 5、正弦定理的变形形式 6、正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化 例 、 已知a=16， b= ， A=30° .解三角形 已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝60°, 或Ｂ＝120° 当 时 Ｂ＝60° C=90° C=30° 当Ｂ＝120°时 B 16 300 A B C 16 3 16 定理的应用 变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝25.70, 或Ｂ＝1800－25.70=154.30 由于154.30 +3001800 故B只有一解　（如图） C=124.30, 变式: a=30, b=26, A=30°，解三角形 300 A B C 26 30 解：由正弦定理 得 所以 Ｂ＝25.70, C=124.30, ∵a b 　∴ A B , 三角形中大边对大角