中考数学因动点产生的平行四边形问题练习.docVIP

因动点产生的平行四边形问题 京翰中考网试题（） 例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题 如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点． （1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值； （3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标． 图1 动感体验 请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个． 请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，MN有4次机会等于3，这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个． 思路点拨 1．第（2）题求∠ABO的正切值，要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN＝yM－yN＝BC，并且检验x的值是否在对称轴左侧． 满分解答 （1）将A(0, 1)、B(4, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 解得，c＝1． 所以抛物线的解析式是． （2）在Rt△BOC中，OC＝4，BC＝3，所以OB＝5． 如图2，过点A作AH⊥OB，垂足为H． 在Rt△AOH中，OA＝1，， 所以． 图2 所以，． 在Rt△ABH中，． （3）直线AB的解析式为． 设点M的坐标为，点N的坐标为， 那么． 当四边形MNCB是平行四边形时，MN＝BC＝3． 解方程－x2＋4x＝3，得x＝1或x＝3． 因为x＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M的坐标为（如图3）． 图3 图4 考点伸展 第（3）题如果改为：点M是抛物线上的一个点，直线MN平行于y轴交直线AB于N，如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 那么求点M的坐标要考虑两种情况：MN＝yM－yN或MN＝yN－yM． 由yN－yM＝4x－x2，解方程x2－4x＝3，得（如图5）． 所以符合题意的点M有4个：，，，． 图5 例2 2012年福州市中考第21题 如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）． （1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______； （2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度； （3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长． 图1 　 图2 动感体验 请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形． 请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1. 思路点拨 1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度． 2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径． 满分解答 （1）QB＝8－2t，PD＝． （2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形． 过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8． 在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10． 图3 在Rt△APE中，，所以．　 当PQ//AB时，，即．解得． 所以点Q的运动速度为． （3）以C为原点建立直角坐标系． 如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)． 如图5，当t＝4时，PQ的