第④讲分部积分法与几类特殊类型的积分课件.pptVIP

不定积分的分部积分公式 问题 思路 利用两个函数乘积的求导公式, 设函数 和 具有连续导数, 则 移项得 两边积分得 或 分部积分公式 求解关键 如何将所给积分 化为 形式, 并使它更容易计算, 例如, 利用分部积分法计算不定积分, 选择好 非常 , 关键, 选择不当将使积分的计算变得更加复杂, 有关分部积分公式的几点说明 2. 有些函数的积分 出现了原来的积分公式, 这时通过解方程可得到所 求不定积分; 在连续两次应用分部积分法后 1. 有些函数的积分 需要连续多次应用分部积分法; 3. 一般来说, 下列类型的被积函数 积分法, 其中 都是正整数. 常考虑应用分部 等. 例 1 求不定积分 令 显然, 选择不当, 积分更难进行. 解 一 解 二 令 例 2 求不定积分 解 小结 若被积函数是幂函数 (指数为正整数)和正(余) 弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 可设幂函数为 使其降幂一次. 例 3 求不定积分 解 令 例 4 求积分 解 令 小结 若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和 反三角函数的乘积, 可设对数函数或反三角函数为 而将幂函数凑微分进入微分号, 使得应用分部积分 对数函数或反三角函数消失. 公式后, 例 5 求不定积分 解 注意循环形式 例 6 求不定积分 解 例 7 求不定积分 解 例 8 求不定积分 解 令 则 于是 解 例 9 求 已知 的一个原函数是 根据题意 再注意到 两边同时对 求导, 得 解 例 10 求不定积分 有理函数的积分 有理函数的定义: 两个多项式的商表示的函数. 其中 、 都是非负整数; 及 都是实数, 并且 方法： 将有理函数化为部分分式之和，然后进行积分 例 11 求不定积分 解 因为 原式 三角函数有理式的积分 定义 由三角函数和常数经过有限次四则运算 成的函数. 构 记为 三角函数有理式的积分 令 则 万能置换公式 例 12 求不定积分 解 由万能置换公式 原式 例 13 求不定积分 解 先对分母进行有理化 原式 解 求不定积分 例 14 令 方法 当被积函数含有两种 时, 可令 ( 为各根指数的最小公倍 数). 或两种以上的根式 求不定积分 例 15 解 令 原式 * *