现代第九讲.doc

§3.3 欧氏空间 在解析几何中，对平面上的有向线段 与 可做点乘运算 其中，表示有向线段 与 的夹角， 和 分别为有向线段 与 的长度。利用点乘可得 ， 取定平面直角坐标系后，设 ， 则易得 在几何中，与 均有直观的几何意义。但对一般的元实向量 则无法直接讨论它们的长度与夹角。我们仿照点乘的坐标运算法，把 当作向量 与 的“点乘”，就可反向引入向量的长度与夹角的概念。 一、向量的内积 定义 设 是实向量空间。任取 ，设 则 与 的内积 规定为 设 ，则 性质 设 是实向量空间。对任意 及，均有 （1） （2） （3） （4），且等号成立当且仅当 定义 定义了内积运算的实向量空间称为Euclid空间，简称为欧氏空间。 二、向量的度量 定义 设 是欧氏空间，任取 ，则 的长度 规定为 注意: ； 为单位向量； 是单位向量（称上述过程为对 单位化）； 定理 设 是欧氏空间，则对任意 均有 上式称为Cauchy-Schwarz不等式。 证 ，结论成立； ，对任意实数，均有 ， 即 因 的系数大于零，故 ， 即 于是 定义 设 是欧氏空间， ，且 均不是零向量，则 与 的夹角 规定为 这里 。 定义 若 ，则称向量 与向量 正交，记为 。 例 设 ，则对任意 与任意 ，均有 。 定理 设 是欧氏空间，与 是 中任意两个向量，则有 （1）三角不等式： （2）勾股定理：若，则 三、标准正交基 定义 设 是欧氏空间，是 中 m个非零向量。若 两两正交，则称 是正交向量组。由单位向量构成的正 交向量组称为标准正交向量组。 例 在欧氏空间 中，自然基是标准正交向量组。 例 在欧氏空间 中，单位向量本身也是标准正交向量组。 定理 设 是欧氏空间 的一个正交向量组，则 线性无关。 证 设 是正交向量组，令 两边同时与 做内积，得 因 两两正交，故 于是 又 ，故 。由此得 。 同理可证 。所以 线性无关。 设 线性无关，令 ， 则 因要求 ，故 又 ，故 。从上式解得 已知 线性无关，故 。于是 是正交向量组。 令 ，则 是标准正交向量组， 而且， 定理 设 是欧氏空间，是 中m个线性无关的向量，则 中存在m个标准正交的向量 ，并且 Schmidt正交化方法： 已知 线性无关 正交化： 单位化： ，， 例 已知中的 求三个标准正交的向量。 解 1. 正交化 ， ； 单位化 则 即为所求的一个标准正交向量组。 定义 设 是欧氏空间，则 中由正交向量组构成的基称为正交基，中由标准正交向量组构成的基称为标准正交基。 例 欧氏空间 的自然基 即是标准正交基。 定理 设 是欧氏空间，且 ，则 一定存在标准正交基。 例 已知欧氏空间 中的两个标准正交向量 ，把扩充为 的标准正交基。 解 1. 把 扩充为 的一个基： 取向量 ，易证 线性无关，因此它们是 的一个基。 2. 把 化为 的一个正交基： 令 则 两两正交，且无零向量，因此它们是的一个正交基。 3. 把 化为 的一个标准正交基： 令 则 即为 的一个标准正交基。 四、正交矩阵 定义 设，若，则称是正交矩阵。 显然，正交矩阵 满足 。 设 为正交矩阵， ，，…， 为的列向量组。 由 得 所以 又 （欧氏空间），且 （与的内积） 故有 即 是 中的标准正交向量组。 定理 设 ，则 是正交矩阵的充分必要条件是 的列（行）向量组是标准正交的。 例 设 ，其中 。证明：是正交矩阵。 证明：（法一） ∵ 的列向量组标准正交 ∴ 是正交矩阵。 （法二）∵ ∴ 又 ，而 ， 故 。所以 。 于是，是正交矩阵。 例 设 ，证明：若 可逆，则 可表示为 其中 是n阶正交矩阵，是n阶可逆上三角阵。上式称为实方阵的正交分解。 §B.4 线性变换 基本概念 映射 象 原象 单射（1-1的） 满射（到上的） 双射（一一对应） 映射的相等：。对有，记为 映射的复合：。定义 对。 变换： 线性变换：，其中为数域上的线性空间。若对任意的及任意的都有 则称为上的一个线性变换。 例 求导变换 数乘变换：， 特别地，时，称为零变换，记为；时，称为恒等变换或单位变换，记为 性质： (1) (2) 保持线性组合、线性关系式不变，即 若，则 (3) 将线性相关的向量组变成线