第三讲初等模型(Ⅱ)要点分析.pptVIP

§3.3 交通路口红绿灯 十字路口绿灯亮15秒，最多可以通过多少辆汽车？ 模 型 1.汽车启动前停车位模型： 4. 限速行使的时间： 参 数 估 计： L=5m，D=2m，T=1s， v*=40km/h=1.1m/s a=2.6m/s2≈2m/s2. 问 题 1. 调查一个路口有关红绿灯的数据验证模型是否正确。 10.位置,走向,车道数,时间。 绿灯时间,通过的车数(至少三次)。 数据不同的原因。 20.模型的假设与实际是否一致。 模型的参数与实际是否一致。 30. 模型的计算结果与观测结果是否一致？不一致时，为什么？如何修改模型。 2. 分析汽车开始以最高限速穿过路口的时间。 3. 给出穿过路口汽车的数量随时间变化的数学模型。 第三讲 初等模型（Ⅱ） §3.1 双层玻璃窗的功效 §3.2 雨中行走问题 §3.3 交通路口红绿灯 §3.4 冷轧机的疵点检修 §3.5 猴子分桃问题 2d 墙 室内 T1 室外 T2 d d 墙 l 室内 T1 室外 T2 问题 双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，减少多少热量损失 假设 1）热量传播只有传导，没有对流 2）T1,T2不变，热传导过程处于 稳定状态 3）材料均匀，热传导系数为常数 建模 Q1 Q2 Q ~单位时间单位面积传导的热量 ?T~温差, d~材料厚度, k~热传导系数 3.1 双层玻璃窗的功效 d d 墙 l 室内 T1 室外 T2 Q1 Ta Tb 记双层玻璃窗传导的热量Q1 Ta~内层玻璃的外侧温度 Tb~外层玻璃的内侧温度 k1~玻璃的热传导系数 k2~空气的热传导系数 热传导定律 记单层玻璃窗传导的热量Q2 2d 墙 室内 T1 室外 T2 Q2 双层与单层窗传导的热量之比 k1=4?10-3 ~8 ?10-3, k2=2.5?10-4, k1/k2=16 ~32 对Q1比Q2的减少量作最保守的估计， 取k1/k2 =16 h Q1/Q2 4 2 0 0.06 0.03 0.02 6 模型应用 取 h=l/d=4, 则 Q1/Q2=0.03 即双层玻璃窗与同样多材料的单层玻璃窗相比，可减少97%的热量损失。 结果分析 Q1/Q2所以如此小，是由于层间空气极低的热传导系数 k2, 而这要求空气非常干燥、不流通。 房间通过天花板、墙壁… …损失的热量更多。 双层窗的功效不会如此之大 §3.2 雨中行走问题 人们外出行走，途中遇雨，未带雨伞势必淋雨。自然会想到，走多快才会少淋雨呢？ 只讨论简单情形，只考虑人在雨中沿一直线从一处向另一处行进时，雨的速度已知，问人走的速度多大才能使淋雨量最少？ 问 题 （1）将人视为长方体，前、侧、顶的面积之比为1:b:c 假 设 （2）设人沿直线匀速行走，以人走方向为正向，速度向量为(u,0,0), 人行走的距离为l，则行走的时间为l /u. （3）设雨速矢量为(vx,vy,vz)保持不变． 在上述假定下，由高等数学中曲面积积分的通量概念，显然单位时间内的淋雨量正比于 从而总淋雨量正比于 其中 于是，问题抽象成如下数学问题： 在l,vx , a已知条件下，求R(u)的最小值。 由于这个模型的特殊性，用图解法求解方便些，分下列几种情况讨论： （1）当 时 （即雨的方向与人行走方向一致） 图3.2.1 当vx＞a时，R(u)~u的图形如图3.2.1所示， 0 由图可知u=vx时，R(u)取最小值为 当vx=a时，R(u)~u的图形如图3.2.2所示， 0 图3.2.2 由图可知u=vx时，R(u)取最小值为l . 图3.2.3 当vx＜a时，R(u)~u的图形如图3.2.3所示， 0 由图可知，当u尽可能大时，R(u)才会尽可能小（接近于l）。 （2）当 时 不论vx为何值，R(u)都无最小值。即只有当u尽可能大时， R(u)才会尽可能小。R(u)~u的图形如图3.2.4所示。 图3.2.4 0 (3)当vx=0时， 综合所述，当vx＞a＞0时，只要u=vx就可使前后不淋雨，从而总淋雨量最小，其它情况，都应使u尽可能大，才能使淋雨量尽可能小。显然这符合人们的生活常识。 这是一个较为特殊的情况，此时由于人在水平方向不淋雨，因此，单位时间的淋雨量: 总淋雨量: 显然，在这种情况下，u的值越大，总淋雨量就越小，但没有最小值。 问题 1. 车辆相同，从静止开始做匀加速运动。 2. 车距相同，启动延迟时间相等。 3. 直行，不拐弯，单侧，单车道。 4. 秩序良好，不堵车。 5. 前一辆车启动后，下一辆车启动的延迟时间相等. 假设 用x轴表示车辆行使的道路，原点O表示交通灯（停车线）的位置，