有限元分析第五章(第二部分).docVIP

§5-5数值积分 问题的提出　 在上一节中对等参元进行单元分析时要进行下列积分： (i) 单元刚度矩阵 (ii)体积力的等效结点力 (iii)边界力的等效结点力 (iv)温升载荷的等效结点力 式（5-4-5）~（5-4-8）分别归结为计算以下两种形式的积分 对于上述积分仅在单元的形状十分规则的情况下才能得到解析的结果（精确值），一般情况只能用数值积分方法（主要是高斯求积法）求近似值。虽然数值积分是“被迫“采用的，但后来发现：有选择地控制积分点的个数和位置，可以方便地实现我们的某些特殊意图。这样一来，数值积分就成为有限元分析的一个重要组成部分，以至本来可以精确积分的三角形单元也常常采用数值积分。 数值积分的基本概念 任何积分工作取决于三个要素：给定的积分区间，给定的被积函数，具体的积分方法。下面以一维情况为例介绍数值积分的基本概念 (i) 梯形法 函数在区间(a,b)的积分可以表达为 　　　 ：权系数； ：积分样点； ：积分样点的函数值。 梯形法的求积公式为 其中，，而 (ii) 当被积函数为n-1次多项式Pn-1(x)时，则由n个样点及其样点值（xi, Pn-1(xi),i=1,n）可以精确重构这个多项式，从而可以得到精确解。（注意：用以确定多项式的样点不必刻意选取）对多项式形式的被积函数进行积分可以采用高斯求积法，高斯求积法中要利用Legendre多项式的性质，下面先介绍这种多项式及相关的性质。 Legendre 多项式 Legendre多项式的定义域为[-1,1]　 一阶　Legendre多项式 二阶　Legendre多项式 三阶　Legendre多项式 四阶　Legendre多项式 一般n阶Legendre多项式的定义为 读者可以验证：n阶Legendre多项式是二阶变系数齐次微分方程 　　　　　　　 在区间[-1,1]上的有界解。Ln(x) 在区间（-1, 1）上有n个相异实根（零点） 若再补充定义 则得一个定义在[-1, 1]上的多项式系列 图5-23 给出了Legendre 多项式函数列中的前四个元素。为了进一步讨论这个多项式的性质，先注意下面一个事实： 对于任何　kn　都有 显然有 关于Legendre多项式有如下重要结论 任何两个阶数不同的Legendre多项式正交，对于n≥1 对于m≠n（m、n非零，不妨认为mn） 当　m=n　时则有 （２）　若在（１）的证明中将Ln(x)换成任何次数不超过m-1次的多项式 Pm－１(x) 则有 这表明：Lm(x) 与任何一个次数不超过 m-1的多项式正交。 （３）　若q(x) 是（－１，１）上平方可积的函数，则可将q(x)展开成 其中系数　　 特别，对于n次多项式Pn(x)有 一维情况 设需要计算积分 我们可以取x1=0为积分点（图5-2４(a)），以常量f(0) 代替f(x) 进行积分，作为Ｉ的近似值 当f(x)是一次函数时，可得到Ｉ的精确值。也可以任取两个点x1、x2为积分点（图5-2４（b）），用一个线性插值函数 代替f(x) 进行积分，作为Ｉ的近似值 当f(x)是一次函数时显然可得到Ｉ的精确值（取一个积分点已经能做到这一点），当f(x)是二次、三次函数时又将如何？ 一般若取任取n个积分点x1、x2、… xn，作n-1次插值多项式，积分Ｉ的近似值可表示为 其中f(xi)为积分点上的函数值，Wi为权系数。当积分点取为n阶Legendre多项式的零点时，如果被积函数f(x) 为次数不超过2n－1次的多项式，（5-5-1）将给出积分的精确值。这就是高斯求积分法，上述积分点又称为高斯点。高斯点的个数又称为积分阶数，有限元分析中一般n=2~4。可以证明如下 一般来说，对于一个2n-1阶的多项式，需用2n个样点及其样点值才能精确重构该多项式，或者说，需用2n个积分样点才能给出精确积分。 若用除以多项式则 　　　　 即　 所以有 　　　　　 为n-1阶多项式，因此仅需n个样点及其样点值即可精确重构该多项式，进而给出精确的积分值，若取的n个零点为积分样点，则 　　　 结论：用n个Legendre 多项式的零点作为积分样点，式(5-5-1)可以给出精确的积分值，这种方式的积分称为高斯积分。可见，高斯积分方法即减少了积分样点数也优化了积分样点。 现将常见的高斯点坐标和权系数列成下表： 积分阶数n 高斯点坐标 权系数 2n－1 １ x1=0 W1=2 1 ２ x1，2=0.5773502692 W1,2=1 3 ３ x1，3=0.7745966692 x2=0 W1,3=5/9 W1=8/9 5 ４ x1，4=0.3611363116 x2，3=0.3399810436 W1,4=0.3478548451 W2,3=0.6521451549 7 二维情况 二维情况