分式运算题型讲解.docVIP

分式的运算 一、分式的乘除法 1、法则：（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。（意思就是，分式相乘，分子与分子相乘，分母与分母相乘）。 用式子表示： （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，再与被除式相乘。 用式子表示： 2、应用法则时要注意：（1）分式中的符号法则与有理数乘除法中的符号法则相同，即“同号得正，异号得负，多个负号出现看个数，奇负偶正”；（2）当分子分母是多项式时，应先进行因式分解，以便约分；（3）分式乘除法的结果要化简到最简的形式。 二、分式的乘方1、法则：根据乘方的意义和分式乘法法则，分式的乘方就是把将分子、分母分别乘方，然后再相除。 用式子表示： （其中n为正整数，a≠0） 2、注意事项：（1）乘方时，一定要把分式加上括号；（2）在一个算式中同时含有乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式时应先因式分解，再约分；（3）最后结果要化到最简。 三、分式的加减法 （一）同分母分式的加减法 1、法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。 用式子表示： 2、注意事项：（1）“分子相加减”是所有的“分子的整体”相加减，各个分子都应有括号；当分子是单项式时括号可以省略，但分母是多项式时，括号不能省略；（2）分式加减运算的结果必须化成最简分式或整式。 （二）异分母分式的加减法 1、法则：异分母分式相加减，先通分，转化为同分母分式后，再加减。用式子表示：。 2、注意事项：（1）在异分母分式加减法中，要先通分，这是关键，把异分母分式的加减法变成同分母分式的加减法。（2）若分式加减运算中含有整式，应视其分母为1，然后进行通分。（3）当分子的次数高于或等于分母的次数时，应将其分离为整式与真分式之和的形式参与运算，可使运算简便。 四、分式的混合运算 1、运算规则：分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，先乘方，再乘除，最后算加减。遇到括号时，要先算括号里面的。 2、注意事项：（1）分式的混合运算关键是弄清运算顺序；（2）有理数的运算顺序和运算规律对分式运算同样适用，要灵活运用交换律、结合律和分配律；（3）分式运算结果必须化到最简，能约分的要约分，保证运算结果是最简分式或整式。 例计算：（1）； （2）；（3） 【分类解析】 一、分式运算的几种技巧1、先约分后通分技巧例 计算+ 分析：不难发现，两个分式均能约分，故先约分后再计算 解：原式=+=+= 2、分离整数技巧 例 计算-- 分析：两个分式的分子、分母不能约分，如把分子突出分母，分离整数方法可使计算化简。 解：原式=--=1+-1-- =-- ===- 3、裂项相消技巧例 计算++ 分析：此类题可利用=（-）裂项相消计算。 解：原式=（-）+（-）+（-）=-= 练习： 4、分组计算技巧例 计算+-- 分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4，第二项、第三项分母乘积为a2-1，采取分组计算简捷。 解：原式=（-）+（-）=+= 练习： 5、分式求值问题全解 1）字母代入法 例1. b=a+1,c=a+2,d=a+3,求的值. 【解析】 仔细观察已知条件，虽然出现的字母很多，但都可以用一个字母代替： a=a,b=a+1,c=a+2,d=a+3 所以可以用一个字母代替其它字母来实现代数式的化简 = = = = = 【探讨】 当已知条件中不同的字母都可以用一个字母表示时，第一个要想到的方法就是字母带入法，因为最后的结果一定是由有理数或者某个字母表示，所以用这种方法能不能得到正确结果就在于自己的分式化简能力了。 2） 设值代入法 例2. 已知，求证： 【解析】这道题也可以用字母代入法，可以得到，，代入后分式的分子分母中有分式，化简麻烦。我们用一种新的代入方式，考虑到、、连等，让它们都等于k 则 x=ak y=bk z=ck 代入得 = = = 【探讨】 当遇到连等式，可以采用以下三种方式来运用这个条件 设 则（1）， （2）设 则x=ak y=bk z=ck （3）设 则 其中 3） 整式代入法 例3. 已知：，求分式的值. 【解析】如果用字母代入法，要用b代替a本来就比较复杂，会增加我们化简的负担。 将条件化简成乘积形式，得 ，再将分式稍化简变为，可以发现分子分母中只有(a-b)和ab这两项，所以可以用ab代替b-a 【探讨】用整式代入法，能够很大程度地化简代数式，比字母代入法更优越，但要善于观察代数式的组成部分，比如这题，代数式就含有ab和a-b这两项，刚好条件也适当变形能得到a-b与ab的关系，题目很快就解出来了