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大学入学考试中心 九十九学年度指定科目考试试题 数学甲 作答注意事项 考试时间：80分钟 作答方式：第壹部分请用2B铅笔在答案卡之「解答栏」内划记。修正时应以橡皮擦拭，请勿在答案卡上使用修正液（带）。 第贰部分作答于「非选择题答案卷」，并标明题号。请在规定之字段以笔尖较粗之黑色墨水的笔书写，且不得使用铅笔。更正时，可以使用修正液（带）。 第壹部分作答示例：请仔细阅读下面的例子。 （一）单选题只用1，2，3，4，5等五个格子，而不需要用到 ， 以及6，7，8，9，0等格子；多选题只用1，2，3，4等四个格子，而不需要用到 ， 以及5，6，7，8，9，0等格子。 例：若第1题为单选题，选项为 1 3 2 5 3 7 4 9 5 11，而考生得到的答案为7，亦即选项 3 时，考生要在答案卡第1列 划记（注意不是7），如： 例：若第6题为多选题，而考生认为正确的选项为 1 与 3 时，考生要在答案卡第6列的 与 划记，如： （二）选填题的题号是A，B，C，…，而答案的格式每题可能不同，考生必须依各题的格式填答，且每一个列号只能在一个格子划记。 例：若第C题的答案格式是 ，而依题意计算出来的答案是时，则考生必须分别在答案卡的第20列的 与第21列的 划记，如： 祝考试顺利 第壹部分：选择题（单选题、多选题及选填题共占74分） 一、单选题（30分） 说明：第1至5题为单选题，每题选出一个最适当的选项，划记在答案卡之「解答栏」。每题答对得6分，答错或划记多于一个选项者倒扣1.5分，倒扣到本大题之实得分数为零为止。未作答者，不给分亦不扣分。 向量 与下列哪一个向量之夹角（介于与之间）为最小？ 不透明箱中置有编号分别为 、、、、 的球各一颗。同时自箱中随机取出三颗球，则此三球编号之和大于的机率为下列哪一个选项？ 1 2 3 4 5 考虑矩阵，其中、、为实数且行列式。试问行列式之值为下列哪一个选项？ 1 2 3 4 5 设为实系数三次多项式，右图所示为函数 的图形，其中为反曲点。试问的导函数可能为下列哪一个选项？ 将函数 、、 的图形绘于同一坐标平面上，其与轴的相关位置如下图： 试问图中的图形、、所代表的函数应为下列哪一个选项？ 、、 、、 、、 、、 、、 二、多选题（16分） 说明：第6至7题，每题各有4个选项，其中至少有一个是正确的。选出正确选项，划记在答案卡之「解答栏」。每题8分，各选项独立计分，每答对一个选项，可得2分，每答错一个选项，倒扣2分，完全答对得8分；整题未作答者，不给分亦不扣分。在备答选项以外之区域划记，一律倒扣2分。倒扣到本大题之实得分数为零为止。 设 、、分别为函数、、在为任意正实数时的最小值。试问下列哪些选项是正确的？ 在为任意正实数时的最小值为 在为任意正实数时的最小值为 设为一正实数且满足。试问下列哪些选项是正确的？ 1 2 3 4 三、选填题（28分） 说明：A至D题为选填题，将答案划记在答案卡之「解答栏」所标示的列号（8–20）内。每一题完全答对得7分，答错不倒扣；未完全答对不给分。 当为正整数时，令、、为三元一次联立方程组之唯一解， 则 。 已知多项式满足，且在有局部极值，则 。 在中，已知，，且其外接圆半径为，则 。（化成最简分数） 一个抽奖活动依排队顺序抽奖，轮到抽奖的人有一次抽奖机会，抽奖方式为丢掷一枚公正铜板，正面为中奖，反面为没中奖。奖品有三份，活动直到三份奖品都被抽中为止。则在排第四位的人可以抽奖的情况下，排第五位的人可以抽奖的条件机率为 。（化成最简分数） ─ ─ ─ ─ ─ ─ ─以下第贰部分的非选择题，必须作答于答案卷 ─ ─ ─ ─ ─ ─ 第贰部分：非选择题（占26分） 说明：本大题共有二题计算证明题，答案务必写在答案卷上，并于题号栏标明题号 一、二 与子题号 1 、 2 、 3 ，同时必须写出演算过程或理由，否则将予扣分。各小题配分标于题末。 （13分）设为实系数三次多项式。已知原点为函数的图形之反曲点，且此图形在原点的切线为。 试求 、、。（5分） 若且的图形与直线所围的有界区域面积为2，试求 。（8分） （13分）设为坐标空间中一球面；为坐标空间中通过点且方向向量为的直线。 试求与的所有交点之坐标。（5分） 在所有包含的平面与相交所得之圆中，面积最大值为何？（2分） 在所有包含的平面中，与相交所得之圆面积最小者，其平面方程式为何？（6分） 九十九学年度指定科目考试 数学甲选择（填）题参考答案 题号 答案 99年指考 第 6 頁 數學甲 共 6 頁 第 1 頁 99年指考 共 6 頁 數學甲 - 6 - - 1 - 3 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 解 答 欄 1 3 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0