8月21日一元微分学练习题(题目+答案).docVIP

8月21日练习题（导数与微分及其应用） 一、选择题 1. 设函数f x 在内连续，其导函数的图形如图所示，则f x 有 一个极小值点和两个极大值点. 两个极小值点和一个极大值点. 两个极小值点和两个极大值点. D 三个极小值点和一个极大值点. [ ] y O x 【分析】 答案与极值点个数有关，而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点，共4个，是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定. 【详解】 根据导函数的图形可知，一阶导数为零的点有3个，而 x 0 则是导数不存在的点. 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致，必为极值点，且两个极小值点，一个极大值点；在x 0左侧一阶导数为正，右侧一阶导数为负，可见x 0为极大值点，故f x 共有两个极小值点和两个极大值点，应选 C . 2. 曲线 A 仅有水平渐近线. B 仅有铅直渐近线. C 既有铅直又有水平渐近线. D 既有铅直又有斜渐近线. [ ] 【分析】 先考虑是否有水平渐近线，若无水平渐近线应进一步考虑是否存在斜渐近线，而是否存在铅直渐近线，应看函数是否存在无定义点. 【详解】 当时，极限均不存在，故不存在水平渐近线； 又因为 ，，所以有斜渐近线y x. 另外，在 x 0 处无定义，且，可见 x 0为铅直渐近线. 故曲线既有铅直又有斜渐近线，应选 D . 3. 设函数，其中在x 1处连续，则是f x 在x 1处可导的 A 充分必要条件. （B）必要但非充分条件. C 充分但非必要条件 . D 既非充分也非必要条件. [ ] 【分析】 被积函数含有绝对值，应当作分段函数看待，利用f x 在x 1处左右导数定义讨论即可. 【详解】 因为 ， ， 可见，f x 在x 1处可导的充分必要条件是 故应选 A . 【评注】 函数表达式中含有绝对值、取极值符号 max,min 等，均应当作分段函数处理.一般地，函数在点处可导的充要条件是 4. 设函数f x 连续，且则存在，使得[ ] A f x 在（0，内单调增加. （B）f x 在内单调减少. C 对任意的有f x f 0 . D 对任意的有f x f 0 . 【分析】 函数f x 只在一点的导数大于零，一般不能推导出单调性，因此可排除 A , B 选项，再利用导数的定义及极限的保号性进行分析即可。 【详解】 由导数的定义，知 ， 根据保号性，知存在，当时，有 即当时，f x f 0 ; 而当时，有f x f 0 . 故应选 C . 【评注】 题设函数一点可导，一般均应联想到用导数的定义进行讨论。 5 .设f x |x 1 x |，则 [ ] A x 0是f x 的极值点，但 0 , 0 不是曲线y f x 的拐点. B x 0不是f x 的极值点，但 0 , 0 是曲线y f x 的拐点. C x 0是f x 的极值点，且 0 , 0 是曲线y f x 的拐点. D x 0不是f x 的极值点， 0 , 0 也不是曲线y f x 的拐点. 【】 , , 从而时, 凹, 时, 凸, 于是为拐点. 又, 时, , 从而为极小值点. 所以, 是极值点, 是曲线的拐点, 故选（C）. 【分析二】由于f x 在x 0处的一、二阶导数不存在，可利用定义判断极值情况， 考查f x 在x 0的左、右两侧的二阶导数的符号，判断拐点情况. 【详解二】设0 1，当x , 0 0 , 时，f x 0，而f 0 0，所以x 0是f x 的极小值点. 显然，x 0是f x 的不可导点. 当x , 0 时，f x x 1 x ，， 当x 0 , 时，f x x 1 x ，，所以 0 , 0 是曲线y f x 的拐点. 故选 C . 【评注】对于极值情况，也可考查f x 在x 0的某空心邻域内的一阶导数的符号来判断. 8.设函数，则f x 在内 A 处处可导. B 恰有一个不可导点. C 恰有两个不可导点. D 至少有三个不可导点. [ ] 【详解】 当时，； 当时，； 当时， 即 可见f x 仅在x 时不可导，故应选 C . 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 9.设函数y y x 由参数方程确定，则曲线y y x 在x 3处的法线与x轴交点的横坐标是 A . B . C . D . [ ] 【分析】 先由x 3确定t的取值，进而求出在此点的导数及相应的法线方程，从而可得所需的横坐标. 【详解】 当x 3时，