一元微分学应用(一)教案分析.pptVIP

用薄铁片冲制圆柱形无盖容器, 要求 它的容积一定, 问应如何选择它的半径和 高度才能使用料最省 ? 设容积(体积)为 V , 半径为 r , 高为 h . 用料最省即指容器的表面积 A 最小. 应用题 例8 解 又 A 的最小值一定存在 , 故当要求的容器的容积为 A 时 , 选择半径 如果不放心,可用 二阶导数进行判断. 某出版社出版一种书, 印刷 x 册所需 成本为 每册售价 p 与 假设书可全部售出, 问应将价格 p 定为多 少才能使出版社获利最大？ 例9 由经验公式, 得 于是 得唯一极值可疑点 解 即为 Q 的最大点 . 从而应将价格 p 定为 此时最大获利为 极小 例11 证 例10 —— 一元微积分学 高 等 数 学（文） 一元微积分的应用(一) ——函数的单调性、极值 一、函数的单调性 观察下面的图形, 你能得出什么结论？ 综上所述, 可知: 在讨论函数的单调性时，一般先求出函 数一阶导数等于零和一阶导数不存在的点 , 然后按这些点将所讨论的区间分成小区间 , 在每个小区间内函数只有一种单调性 , 利用 导数符号判断函数是单调增加还是单调减少. 提供了判断函数单调性的方法 例1 解 列表可使问题明朗化 利用函数 处理数列 例2 证 例3 证明:当 时, 证明: 设辅助函数 原不等式变为证明 等号仅在离散点处成立,不影响函数的严格单调性 二、函 数 的 极 值 函数的极值是个局部性的概念. 我们已经知道的与函数极值有关的定理和公式: 费马定理 — 可微函数取极值的必要条件 函数的单调性判别定理和方法 首先考察下列函数的图形: 定理 费 马 Pierre de Fermat (1601－1665) 费马，法国数学家. 出身于一个商人 家庭. 他的祖父、父亲、叔父都从商. 他 的父亲是当地的第二执政官, 经办着一个 生意兴隆的皮革商店. 费马毕业于法国奥尔良大学，以律师 为职. 曾任图卢兹议会会员, 享有长袍贵 族特权. 精通 6 种语言. 业余爱好数学并 在数论、几何、概率论、微积分等领域内 作出了创造性的工作. 费马大定理被称为“会下金蛋的母鸡” . 极值可疑点 判别函数的极值点, 主要是判别极值可疑点左、右 对于可微函数将归结于判别函数的导数的符号. 两侧函数的单调性. (单调增加) (单调减少) (单调减少) (单调增加) 定理 列表讨论单调性, 判别极值: 例5 解 极小 极小 极大 自己总结求 极值的步骤 此时应另找其他方法. 什么方法？ 第一判别法？ 定理 例6 解 怎么办？ 例7 解 在工程技术和生产实践中, 常常需要考虑 在一定条件下, 怎样才能使用料最少、费用最 省, 而效率和效益最高等问题. 这些问题反映 到数学上就是最优化问题. 优化技术应用价值很大 三、函 数 的 最大、最小值 怎样求函数在一个区间上 的最大、最小值呢？ 回忆以前学过的知识： 取到它的最大值和最小值 . 取得其最大值和最小 值 , 则这些最值一定是函数的极值 . 的最大值和最小值可能在区间的端点 也可能在区间内部取得. 温故而知新 求一个连续函数在 上的最大值和 最小值 , 只要先求出函数 一切极值可疑点 ( 驻点和一阶导数不存在的 点), 然后比较极值可疑点的函数值及区间端 点函数值 , 其中最大者就是函数 最小者就是函数 求最值的几个特殊情况 极大(小)值点 , 则该点就是函数的最大(小)值点 . 实际判断原则 计算函数值: ( 端点值 ) 例8 解 没有什么新的东西