FEM_ch4_有限元法求解平面问题(改前).pptVIP

* 每一行从第一个非零元素起主对角线元素止的元素个数或 包括对角元素在内的半个带状区域内，每行（或列）包含的最多元素个数 * 式中形函数为： 其中： 第六节 整体分析 总体刚度矩阵 矩形单元位移函数的收敛性讨论： 1）刚体位移（同三角形单元） 2）常量应变： 第六节 整体分析 总体刚度矩阵 3）位移连续性： a. 单元内连续 b. 节点连续 在节点r处 在其它节点处 显然u,v是x,y的连续函数。 第六节 整体分析 总体刚度矩阵 不同单元在同一节点处位移相等。 c. 边界连续 以ij边为例：y=-b代入： 所以，u,v在边界上为一直线，经过两点有且只有一条直线，边界连续。 第六节 整体分析 总体刚度矩阵 第七节 边界条件处理 计算成果整理 1. 进行边界处理的原因 总刚矩阵的奇异性： 无逆矩阵 无法求解 的奇异性是由于其中包含了弹性体的刚体位移 考虑边界约束，消除刚体位移 边界处理 给定位移边界 2.边界的约束情况 对称结构： 第七节 边界条件处理 计算成果整理 几何形状，边界约束及载荷均关于 x 轴或 y 轴对称。 2. 进行边界处理的方法 (1）降阶法： 将总体平衡方程中位移为0的相应行和列划去 第七节 边界条件处理 计算成果整理 1. 降阶：2n ×2n降为(2n-r) ×(2n-r) 2. 奇异矩阵变为非奇异矩阵 3. 打乱[K] [FL]的储存顺序,不利于编程 (2) 对角元素置1法 第七节 边界条件处理 计算成果整理 将位移为0的所在行和列置0，对角元素置1 如： 则： (3) 对角元素乘大数法 令： 第七节 边界条件处理 计算成果整理 如： 则： 3. 计算成果整理 在有限元法中，位移的精度较高， 其误差量级是　　　 ，即与单元尺度的二次幂成正比。应力的误差量级是　　　 ，即与单元的大小成正比。 计算成果 (1)位移 (2)应力（应变） 对于结点位移的成果，可以直接采用。 三结点三角形单元的应力的成果，不但应力的精度较低，而且还产生了所谓应力的波动性。 假设单元 ① 的应力成果为　　 ，其中 为真解， 为误差。 由于在结点都列出了平衡方程并令其满足，从而使相邻的 ② 单元的应力趋近于　　　 。 应力的波动性 第七节 边界条件处理 计算成果整理 应力成果的整理方法： （1）绕结点平均法：把环绕某一结点的各单元中的常量应力加以平 均，用来表征该结点处的应力； （2）两相邻单元平均法：把两个相邻单元中的常量应力加以平均，用 来表征公共边中点处的应力。 提高应力的精度方法： （1）加密网格，减少单元的尺寸，以提高应力的精度。 （2）采用较多结点的单元，并使 位移模式中包含一些高幂次的项， 从而提 高位移和应力的精度。 第七节 边界条件处理 计算成果整理 由具体结构及给定条件，绘计算简图---尺寸、外载荷、约束等； 有限元法的求解步骤： 选定坐标系，划分单元，单元与节点编号（整体编号，局部编号）； 计算单刚矩阵：单元面积 A， , ，形成单刚； 组集总刚； 载荷移置； 边界处理； 求解线性方程组。 计算成果整理。 第七节 边界条件处理 计算成果整理 第八节 有限元法求解实例 解: (1) 对称问题处理：几何形状，边界约束， 和载荷均关于 x 轴和 y 轴对称。 单元号 总体 局部 节 点 单元① 单元② i j m i j m 1 2 3 3 4 1 如图为厚度为t的矩形薄板。两端受均布拉力1N/m，板长2m，宽1m,材料常数为 E ， ，在不计自重的情况下，试用有限元法求板内应力分布。 3 1 = m 第八节 有限元法求解实例 （2）划分单元，单元及节点编号 i, j, m 逆时针方向编码，保证单元面积为正 (3) 求单刚矩阵： 以单元①为例： 第八节 有限元法求解实例 ① ② 单元② 可通过单元① 的逆时针旋转而得到： 第八节 有限元法求解实例 （4）组集总刚矩阵 i j m i j m ① ② ① ① ② 对称 ② 以子块 为例： 第八节 有限元法求解实例 单元号 总体 局部 节 点 单元① 单元② i j m i j m 1 2 3 3 4 1 (5) 边界条件处理： 分别对应于节点位