第四章不定积分学习指导.docVIP

第四章 不定积分学习指导 一、知识脉络 二、基本要求 1．理解原函数和不定积分的概念 2．牢记基本积分公式 3．熟练掌握第一换元法（凑微分法）和分部积分法 三、重点和难点 1．重点：第一换元积分法，分部积分法 2．难点：第二换元积分法、特殊函数的积分 四、问题与分析 1．由不定积分的定义可知，求已知函数的不定积分是找它的全体原函数。而找全体原函数的关键是求一个原函数，这个原函数的导数恰为已知函数。所以，积分法是微分法的逆运算，积分是否正确，可求出其导数来验证。 2．不定积分的几何意义：不定积分是的一族积分曲线，这些曲线可以通过其中任何一条沿着轴上下平移得到。而且这些曲线在横坐标相同的点处的切线斜率都相同，均为。 3．由可导与不定积分之间的关系知，求导数与求不定积分是互为逆运算，所以对一个函数先求导再求不定积分，其结果是该函数加上一个任意常数；而对一个函数先求不定积分，再求导数，其结果是原被积函数。即 ， 4．积分不变性定理：若，则，其中是的可微函数。 5．第二换元法是在难以或不可能应用第一换元法时，先采用一次适当的变量替换，使所求不定积分恒等变为相对容易积分或处理的不定积分的所谓“缓一着”的方法。 第二换元法中常用的变量替换形式如下表所示： 代换名称 被积函数 换元形式 三角函数 ， ， ， 无理函数 同时含有和 6．运用分部积分公式求不定积分时应注意以下几点： ①分部积分法与直接积分法，换元积分法在同一题目中可交替使用； ②运用部分积分公式前，需将所求不定积分化为的形式，即需要选定，之中的某一个为，另一个则为。 ③恰当地选择哪一个作，哪一个作是至关重要的。一般地，选择和的原则是 (1)由易求出其中一个原函数； (2)比原积分容易计算； (3)连续两次或两次以上应用分部积分公式时，再一次选择的，须是前一次选择的同类函数（即若第一次选择指数函数为，则第二次仍选择指数函数为），以免积分还原。 常见的选择，的方法如下表，供大家参考，表中是多项式： 不定积分类型 和的选择 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 7．有理函数的积分解题程序 ①用多项式除法，把被积函数代为一个整式与一个真分式之和； ②把真分式分解成部分分式之和。所谓部分分式是指：分母为质因式或一质因式的若干次幂，而分子的次数低于分母的次数： (1)若分母中有因式，则其部分分式相应地有个，即 其中，，…，为常数。 (2)若分母中有因式，，则部分分式相应的有个，即 其中，（）为常数。 五、解题格式 例1：求 解：原式 例2：求 解：原式 例3：求 解：设，，则 原式 例4：求 解：令，则， 原式 例5：求 解：原式 1