YQJCh5样条插值重点.pptVIP

? 三次样条函数的确定 ?空间D3,?的维数是 n?3 , 确定D3,?中的一个三次样条函数s?x?需要n?3个条件. 定义中提供的条件 s(xi ) ? f (xi )，i ?0,1,…,n. (5.30) 有n?1个, 还需要两个条件. 可用边界节点 x0, xn 处的导数约束,称为边界条件. ?从力学角度考虑，附加边界条件相当于在细梁的两端加上约束，是有意义的。 第一种边界条件: s ?(x0 ) ? f ?(x0) , s ?(xn) ? f ?(xn) . 特例，若f ?(x0) ? f ?(xn) =0，则所得的样条称为自然样条，它是通过所有数据点的插值函数中，曲率最小的惟一函数，因此自然三次样条是插值所有数据点的最光滑的函数。 第二种边界条件: s ?(x0 ) ? f ?(x0) , s ?(xn) ? f ?(xn) . 第三种边界条件: s ?(x0+ ) ? s ?(xn?) , s ?(x0+ ) ? s ?(xn?) . 最后这个条件, 仅适用于被插值函数是周期函数. ?三次样条插值问题的提法 给定[a,b]上定义的函数 f (x)及分划 ? ：a ? x0 ? x1 ? ? ? xn ? b, 在D3,?中求一个三次样条函数 s?x?, 使其满足插值条件(5.30)及边界条件. ? 定理5.4 三次插值问题的解存在且唯一. ?连续函数 f ?x? 的 ?-范数 ?注 用三次样条插值函数s?x?逼近f (x)是收敛的，并且是数值稳定的，但其误差估计式与收敛定理的证明都是较复杂的，只给出结论。 5.3.3 B样条为基底的三次样条插值函数 设区间 [a, b] 上的分划为 xi ? a ? ih (i ? 0,1, …, n), h ? (b ? a)/h . 由(5.29)知, 对应此划分的 s(x) 可表示为 由?3(x) 的表达式, 有 于是方程组(5.35) 变为 在方程组(5.36)中消去 c0, c1, cn+1, cn+2 得到 n ?1个变元的线性方程组 ?用第二种边界条件，三次样条函数 s(x) 中的系数,可用下面的公式求之. ? 用第三种边界条件，三次样条函数 s(x) 中的系数,可用下面的公式求之. 例4 给定数表 求以 为节点的三次样条函数s(x)，使其满足条件 5.3.4 三弯矩法求三次样条插值函数 求三次样条插值函数的方法有很多，常用的有三弯矩法和三转角法，下面介绍求解三次样条插值函数的三弯矩法。 对 s?(x ) 积分两次并用插值条件 s(xi ) ? f(xi ) 及 s(xi ?1 ) ? f(xi ?1) 去定积分常数, 可有 由于力学上将 Mj 解释为梁在截面xj处的弯矩，故上式又称为三弯矩方程。 Mi（i=0,1,…,n）称为S的矩。因为上式是关于n+1个待定参数M0,M1,…Mn的n-1阶方程，所以有无穷多组解。但实际问题只能选取特定的一个解，所以要完全确定Mi的值还需补充两个条件。这两个条件通常根据实际问题的要求，根据插值区间[a,b]的两个端点处的边界条件来补充。 ?用第一种边界条件: s ?(x0 ) ? f ?(x0) , s ?(xn) ? f ?(xn) . 得下面两个方程: ? 用第二种边界条件: s ?(x0 ) ? f ?(x0) , s ?(xn) ? f ?(xn) .. 经类似的推导, 得求解未知数 M0, M1, ?, Mn 的方程组: 计算步骤： ①根据给定的 (xi,yj) (i=0,1,…,n)以及边界条件，计算关于M0,M1,…Mn的线性方程组中的有关参数（系数矩阵的元素和右端项）。 ②求解上述线性方程组（可用追赶法）。 ③把求出的M0,M1,…Mn代入式(5.47)，所得的s(x)就是所求的三次样条插值函数。 例5 用三弯矩法求解例4提出的三次样条插值问题。 数学符号 ? x0, x1, ?, xn, y0, y1, ?, ym, xi ? ?1? i k=0,1, ?, n ?1. ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?? ?(x, y) ? pnm(x, y) yi ?? (xi), yi? ?? ?(xi), ? ???? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ??? ??????? ? ? ? ? ΓΔΘΛΞΦΨΩ ? ?? ? n ?1 ????? ????? ?????? ????? ????? ? ??